The Chemistry Maths Book, Second Edition

19.5 Quadratic forms 549

corresponding to eigenvaluesλ

1

1 = 11 andλ

2

1 = 19. The matrix of the eigenvectors is

with transpose

Then

Q 1 = 1 y

T

Dy 1 = 1 λ

1

y

1

2

1 + 1 λ

2

y

2

2

1 = 1 y

1

2

1 + 19 y

2

2

where

0 Exercises 32–34

The transformation of a quadratic form into canonical form is also called a

transformation to principal axes, and has numerous applications in geometry and in

the physical sciences. For example, the quadratic form of Example 19.14,

Q 1 = 15 x

1

2

1 + 18 x

1

x

2

1 + 15 x

2

2

represents a family of ellipses in thex

1

x

2

-plane for positive values of Q. The ellipse for

Q 1 = 19 is shown in Figure 19.2(a).

The principal axes of the ellipse lie at 45° to thex

1

andx

2

axes, and the transformation

to the canonical form

Q 1 = 1 y

1

2

1 + 19 y

2

2

yXx==

−









































T

1

2

11

11

1

2

x

x

,

y

y

xx

xx

1

2

12

12

1

2

























=

−

• 
  

















X

T

=

−

















1

2

11

11

X==

−

















()xx

12

1

2

11

11

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x

1

x

2

45

◦

pr i n c i p a la x i s

pr i n c i p a la x i s

(a)5x

2

1

+8x

1

x

2

+5x

2

2

=9

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y

1

y

2

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...

..

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(b)y

2

1

+9y

2

2

=9

Figure 19.2