Introduction to Aircraft Structural Analysis (Elsevier Aerospace Engineering)

190 CHAPTER 6 Matrix Methods

Fig.6.10

Assemblage of two beam elements.

fromEq.(6.44);thus,

[K 12 ]=EIa

v 1 θ 1 v 2 θ 2

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢⎢

⎢

⎣

12 /La^3 − 6 /L^2 a

k 11

− 6 /La^24 /La

− 12 /La^3 − 6 /L^2 a

k 12

6 /L^2 a 2 /La

− 12 /L^3 a 6 /La^2

k 21

− 6 /L^2 a 2 /La

12 /La^36 /L^2 a

k 22

6 /L^2 a 4 /La

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎦

(6.51)

[K 23 ]=EIb

v 2 θ 2 v 3 θ 3

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

12 /Lb^3 − 6 /L^2 b

k 22

− 6 /Lb^24 /Lb

− 12 /Lb^3 − 6 /L^2 b

k 23

6 /Lb^22 /Lb

− 12 /L^3 b 6 /L^2 b

k 32

− 6 /L^2 b 2 /Lb

12 /Lb^36 /Lb^2

k 33

6 /Lb^24 /Lb

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.52)

Thecompletestiffnessmatrixisformedbysuperimposing[K 12 ]and[K 23 ]asdescribedinExample6.1.
Hence,

[K]=E

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎢⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

12 Ia

L^3 a

−

6 Ia

L^2 a

−

12 Ia

L^3 a

−

6 Ia

La^2

00

−

6 Ia

L^2 a

4 Ia

La

6 Ia

L^2 a

2 Ia

La

00

−

12 Ia

L^3 a

6 Ia

L^2 a

12

(

Ia

L^3 a

+

Ib

Lb^3

)

6

(

Ia

L^2 a

−

Ib

Lb^2

)

−

12 Ib

Lb^3

−

6 Ib

Lb^2

−

6 Ia

L^2 a

2 Ia

La

6

(

Ia

L^2 a

−

Ib

L^2 b

)

4

(

Ia

La

+

Ib

Lb

)

6 Ib

Lb^2

2 Ib

Lb

00 −

12 Ib

L^3 b

6 Ib

Lb^2

12 Ib

Lb^3

6 Ib

L^2 b

00 −

6 Ib

L^2 b

2 Ib

Lb

6 Ib

Lb^2

4 Ib

Lb

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎥⎥

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.53)