Introduction to Aircraft Structural Analysis (Elsevier Aerospace Engineering)

(nextflipdebug5) #1

190 CHAPTER 6 Matrix Methods


Fig.6.10


Assemblage of two beam elements.


fromEq.(6.44);thus,


[K 12 ]=EIa

v 1 θ 1 v 2 θ 2





⎢⎢


12 /La^3 − 6 /L^2 a
k 11
− 6 /La^24 /La

− 12 /La^3 − 6 /L^2 a
k 12
6 /L^2 a 2 /La

− 12 /L^3 a 6 /La^2
k 21
− 6 /L^2 a 2 /La

12 /La^36 /L^2 a
k 22
6 /L^2 a 4 /La






⎥⎥



(6.51)

[K 23 ]=EIb

v 2 θ 2 v 3 θ 3
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
12 /Lb^3 − 6 /L^2 b
k 22
− 6 /Lb^24 /Lb

− 12 /Lb^3 − 6 /L^2 b
k 23
6 /Lb^22 /Lb

− 12 /L^3 b 6 /L^2 b
k 32
− 6 /L^2 b 2 /Lb

12 /Lb^36 /Lb^2
k 33
6 /Lb^24 /Lb

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.52)

Thecompletestiffnessmatrixisformedbysuperimposing[K 12 ]and[K 23 ]asdescribedinExample6.1.
Hence,


[K]=E

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎢⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

12 Ia
L^3 a


6 Ia
L^2 a


12 Ia
L^3 a


6 Ia
La^2

00


6 Ia
L^2 a

4 Ia
La

6 Ia
L^2 a

2 Ia
La

00


12 Ia
L^3 a

6 Ia
L^2 a

12

(

Ia
L^3 a

+

Ib
Lb^3

)

6

(

Ia
L^2 a


Ib
Lb^2

)


12 Ib
Lb^3


6 Ib
Lb^2


6 Ia
L^2 a

2 Ia
La

6

(

Ia
L^2 a


Ib
L^2 b

)

4

(

Ia
La

+

Ib
Lb

)

6 Ib
Lb^2

2 Ib
Lb

00 −

12 Ib
L^3 b

6 Ib
Lb^2

12 Ib
Lb^3

6 Ib
L^2 b

00 −

6 Ib
L^2 b

2 Ib
Lb

6 Ib
Lb^2

4 Ib
Lb

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎥⎥

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.53)
Free download pdf