190 CHAPTER 6 Matrix Methods
Fig.6.10
Assemblage of two beam elements.
fromEq.(6.44);thus,
[K 12 ]=EIa
v 1 θ 1 v 2 θ 2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎢
⎢
⎣
12 /La^3 − 6 /L^2 a
k 11
− 6 /La^24 /La
− 12 /La^3 − 6 /L^2 a
k 12
6 /L^2 a 2 /La
− 12 /L^3 a 6 /La^2
k 21
− 6 /L^2 a 2 /La
12 /La^36 /L^2 a
k 22
6 /L^2 a 4 /La
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎦
(6.51)
[K 23 ]=EIb
v 2 θ 2 v 3 θ 3
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
12 /Lb^3 − 6 /L^2 b
k 22
− 6 /Lb^24 /Lb
− 12 /Lb^3 − 6 /L^2 b
k 23
6 /Lb^22 /Lb
− 12 /L^3 b 6 /L^2 b
k 32
− 6 /L^2 b 2 /Lb
12 /Lb^36 /Lb^2
k 33
6 /Lb^24 /Lb
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
(6.52)
Thecompletestiffnessmatrixisformedbysuperimposing[K 12 ]and[K 23 ]asdescribedinExample6.1.
Hence,
[K]=E
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎢⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
12 Ia
L^3 a
−
6 Ia
L^2 a
−
12 Ia
L^3 a
−
6 Ia
La^2
00
−
6 Ia
L^2 a
4 Ia
La
6 Ia
L^2 a
2 Ia
La
00
−
12 Ia
L^3 a
6 Ia
L^2 a
12
(
Ia
L^3 a
+
Ib
Lb^3
)
6
(
Ia
L^2 a
−
Ib
Lb^2
)
−
12 Ib
Lb^3
−
6 Ib
Lb^2
−
6 Ia
L^2 a
2 Ia
La
6
(
Ia
L^2 a
−
Ib
L^2 b
)
4
(
Ia
La
+
Ib
Lb
)
6 Ib
Lb^2
2 Ib
Lb
00 −
12 Ib
L^3 b
6 Ib
Lb^2
12 Ib
Lb^3
6 Ib
L^2 b
00 −
6 Ib
L^2 b
2 Ib
Lb
6 Ib
Lb^2
4 Ib
Lb