Figura 2.
Caminho aleatório em duas dimensões. inícioNovamente podemos demonstrar que, no caminho aleatório bidimensional, a probabilidade
de retorno à origem, no fim das contas, é igual a 1. O falecido Stanislaw Ulam (Laboratório
Nacional de Los Alamos, EUA), mais conhecido por ser o coinventor da bomba de hidrogênio,
provou que, em três dimensões, a situação é diferente. Agora, a probabilidade de que o
caminho retorne à origem em algum momento é de 0,35. Portanto, se você se perder no deserto
e vagar aleatoriamente, acabará, no fim das contas, por chegar ao oásis; mas se estiver perdido
no espaço e vagar aleatoriamente, terá uma chance de apenas um terço, aproximadamente, de
voltar ao seu planeta natal.
Podemos usar esse caminho aleatório para abordar o problema do dado. Suponha que
denominemos as seis direções de um caminho aleatório tridimensional segundo os lados de um
dado: norte = 1, sul = 2, leste = 3, oeste = 4, acima = 5, abaixo = 6. Jogue o dado
repetidamente e caminhe pela grade na direção indicada pelo dado a cada jogada. Nesse
experimento, o “retorno à origem” significa “o mesmo número de 1s que de 2s, e o mesmo
número de 3s que de 4s, e o mesmo número de 5s que de 6s”. A probabilidade de que isso
acabe por ocorrer, portanto, é igual a 0,35. Desse modo, a condição mais estrita de que “todos
os números ocorram com a mesma frequência” deve ter uma probabilidade menor que 0,35.
Até mesmo o mais simples caminho aleatório unidirecional tem muitas outras
características contraintuitivas. Suponhamos que você escolha previamente um grande número
de jogadas — digamos, um milhão — e observe se as caras ou coroas estão na liderança. Você
esperaria que, em média, as caras se mantivessem na liderança durante que proporção do
tempo? O palpite natural é 1/2. Na verdade, essa é a proporção menos provável. As
proporções mais prováveis são as extremas: caras ficam na liderança o tempo todo, ou tempo
nenhum! Para maiores informações, leia An Introduction to Probability Theory and Its
Applications, de William Feller.