diz que é falsa; se for falsa, ela nos diz que é verdadeira. Preocupante.
Paradoxos como este forçaram os lógicos matemáticos a definir com muito cuidado as
coisas das quais estavam falando e o que poderíamos fazer com elas. O “paradoxo do
barbeiro”, de Bertrand Russell, é um desses casos. Num vilarejo, existe um barbeiro que
barbeia a todos que não se barbeiam. Quem barbeia o barbeiro? No mundo real, podemos
recorrer a algumas escapatórias. E se o barbeiro for mulher? Estamos falando de barba, cabelo
ou bigode? De qualquer maneira, um barbeiro assim poderia realmente existir?
Na matemática não temos uma saída fácil, e uma versão do paradoxo de Russell, colocada
em termos mais cuidadosos, pôs a perder o trabalho ao qual Gottlob Frege dedicou sua vida,
acreditando ter embasado toda a matemática a partir das propriedades lógicas dos conjuntos.
Um conjunto é uma coleção de objetos; dizemos que o conjunto contém cada um desses
objetos.a Por exemplo, o conjunto de todos os números pares entre 0 e 10, inclusive, contém os
objetos 0, 2, 4, 6, 8, 10, e nenhum outro. Frege presumia que qualquer propriedade matemática
aparentemente razoável definia um conjunto, que consistia nos objetos que tinham essa
propriedade. Mas Russell pediu a Frege que contemplasse um conjunto (que chamaremos de
X) definido como “o conjunto de todos os conjuntos que não contêm a si mesmos”. Essa é uma
propriedade aparentemente razoável. Alguns conjuntos (por exemplo, o conjunto de todos os
conjuntos) de fato contêm a si mesmos. Outros, como o conjunto dos números pares descrito
acima, não contêm a si mesmos (o conjunto em questão não é um número par entre 0 e 10 — é
um conjunto, e não um número, certo?).
Muito bem, disse Russell: o conjunto X contém a si mesmo?
Se X contém X, então X (em seu papel como objeto de X) satisfaz a propriedade de não
conter a si mesmo, portanto X não contém X.
Por outro lado, se X não contém X, então X (em seu papel como conjunto) satisfaz a
propriedade de não conter a si mesmo, portanto X contém X.
Opa.
Existem muitos paradoxos na literatura matemática e lógica. Alguns deles se sustentam
quando analisados minuciosamente, e, quando o fazem, ilustram as limitações do pensamento
lógico (paradoxo reconquistado). Outros, como alguns vistos habitualmente na matemática
recreativa, não se saem tão bem (paradoxo perdido). Ou será que sim? Eis a minha opinião
sobre alguns deles, mas você pode discordar. Se assim for, vamos concordar em discordar:
por favor, não me escreva para defender seu ponto de vista — a vida é curta demais.
Meu primeiro paradoxo está ligado a Protágoras, um advogado grego que viveu e ensinou
durante o século V a.C. Ele tinha um aluno, e os dois firmaram o acordo de que o aluno lhe
pagaria por seus ensinamentos depois que houvesse ganhado sua primeira causa. Mas o aluno
não arrumou nenhum cliente, e por fim Protágoras ameaçou processá-lo. Protágoras calculou
que ganharia de qualquer forma, pois, se a corte lhe desse ganho de causa, o aluno seria
obrigado a lhe pagar, mas se Protágoras perdesse, então, conforme o acordo firmado, o aluno
teria de lhe pagar de qualquer forma. O aluno respondeu de maneira exatamente oposta: se
Protágoras ganhasse, então, conforme o acordo, ele não teria de lhe pagar, mas se Protágoras
perdesse, a corte teria decidido que o aluno não teria de pagar.
Tudo muito divertido, mas acho que o paradoxo não se sustenta quando o analisamos
melhor. Ambos os litigantes estão escolhendo as partes do argumento que mais lhes convêm —
num momento presumem que o acordo é válido, e então presumem que a decisão da corte pode
anulá-lo. Mas por que levar uma questão como essa à corte? Porque a função da corte é
resolver quaisquer ambiguidades que existam no contrato, anulando-o se necessário, e então
decidindo o que deve ser feito a seguir. Se a corte decidir que o aluno deve pagar, assim terá
de ser; e se decidir que ele não deve pagar, então Protágoras não terá em que se apoiar.
Legalmente, a decisão da corte está acima do contrato. Paradoxo perdido.