e podemos ver que todas as cartas, exceto 0 e 9, mostradas em negrito, foram embaralhadas
para dentro, enquanto 0 e 9 ficaram no mesmo lugar.
Seguindo o raciocínio inverso, podemos transformar um embaralhamento para dentro em
um para fora se acrescentarmos duas cartas ao baralho, uma no início e outra no final. Em
muitos casos, essa conexão permite que consideremos apenas um dos dois métodos; assim,
vamos nos concentrar no embaralhamento para dentro. A principal questão que nos interessa
neste capítulo é: o que acontece com as cartas se as embaralharmos para dentro várias vezes
seguidas? Será que ficam cada vez mais misturadas?
Vejamos o que acontece no baralho de 10 cartas. Estes são os resultados das primeiras
etapas:
Etapa 0: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Etapa 1: 5 0 6 1 7 2 8 3 9 4
Etapa 2: 2 5 8 0 3 6 9 1 4 7
Etapa 3: 6 2 9 5 1 8 4 0 7 3
Etapa 4: 8 6 4 2 0 9 7 5 3 1
Etapa 5: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0Portanto, embora a princípio a ordem pareça ficar mais confusa, depois de embaralharmos
as cartas cinco vezes sua ordem se inverteu perfeitamente! Está claro que se embaralharmos as
cartas mais cinco vezes a ordem se inverterá novamente, “ressuscitando” a ordem original.
Concluímos assim que o embaralhamento para dentro, aplicado repetidamente a dez cartas,
executa um ciclo que percorre somente dez ordens diferentes. Isso é uma fração minúscula das
3.628.800 maneiras diferentes de ordenarmos as dez cartas.
O fato de que o número de repetições necessárias para retornarmos à ordem original seja
igual a dez, o mesmo que o número de cartas, é uma coincidência; mas não podemos dizer o
mesmo do fato de que algum número de repetições restaura a ordem original.
Se você experimentar o mesmo tipo de cálculo com diferentes tamanhos (pares) de
baralhos, descobrirá que as cartas sempre voltam à ordem original, em algum momento, se
forem embaralhadas repetidamente para dentro. No entanto, o número de repetições
necessárias não é tão óbvio: depende do número de cartas de uma maneira bastante irregular.
Primeiro, vamos ver por que uma quantidade suficiente de repetições acaba por restaurar a
ordem das cartas. A Figura 11.1 ilustra o movimento de cada carta em um embaralhamento
para dentro. Por exemplo, o lugar da carta 0 é tomado pela carta 5, o da carta 1 pela carta 0 e
assim por diante. Seguindo as setas, vemos que as cartas tomam os lugares umas das outras na
seguinte ordem:
0 → 5 → 2 → 6 → 8 → 9 → 4 → 7 → 3 → l →repetindo-se novamente a partir do zero. As dez cartas formam um único “ciclo”, e a cada
etapa se movem um passo à frente nesse ciclo. Como o ciclo contém dez cartas, vemos que
depois de dez etapas todas as cartas retornam ao ponto de partida.