Matemática Básica Explicada Passo a Passo - Série Provas e Concursos

Matemática Básica Explicada Passo a Passo I Luiz Cláudio Cabral e
Mauro César Nunes ELSEVIER
Série Provas e Concursos

Logo: x’, x’’∉ R (lê-se: as duas raízes não pertencem ao conjunto dos reais)

Obs. 1: A solução da equação é um conjunto vazio, pois o radicando é negativo (–25)

tornando impossível sua determinação para o conjunto dos números reais.

Obs. 2: Quando o conjunto verdade ou solução da equação incompleta do 2o grau e desse

tipo não for vazio e também diferente de zero, esse conjunto será constituído

sempre por dois elementos (duas raízes) reais e simétricos ou reais e opostos.

Obs. 3: Neste caso, as raízes sendo reais e simétricas (ou opostas) sua soma será

nula (S = 0).

x’ + x’’ = 0

2 o tipo: ax^2 + bx = 0, com c = 0

ax^2 + bx = 0 ⇒          x.(ax + b) = 0

Então, para que um produto seja nulo, pelo menos um dos fatores deve ser nulo

(igual a zero).

Então: x’ = 0 ∴ 1 a raiz (uma raiz nula), ou:

ax + b = 0 ⇒             ax = –b ⇒           x’’ =

b

a

− : 2a raiz

Obs.: Quando o termo independente de “x” for nulo (c = 0), a equação do 2o grau terá,

pelo menos, uma das raízes nula.

Exemplos:

a) 3x^2 – 27x = 0 ⇒ x.(3x – 27) = 0

x` = 0, ou:

3 x – 27 = 0 ⇒           3 x = 27 ⇒ x =

27

3

⇒            x’’ = 9 ∴

V = {0; 9}

b) 4x^2 + 12x = 0 ⇒          x.(4x + 12) = 0

x` = 0, ou:

4 x + 12 = 0 ⇒ 4 x = –12 ⇒ x = –

12

4

⇒ x’’ = –3

∴ V = {–3; 0}

3 o tipo: ax^2 = 0, com b = c = 0

ax^2 = 0 ⇒           x^2 =^0

a

, como a ≠  0 por definição, x’ = x’’ = 0

Conclusão: A equação do 2o grau terá sempre duas raízes reais e nulas ou uma raiz

dupla nula, quando b = c = 0, com a ≠ 0 por definição.

12.2. Resumo analítico da relação entre os coeficientes..............................................................

O estudo analítico entre os coeficientes “a”, “b” e “c” dada a equação do 2o grau

do tipo ax^2 + bx + c = 0, poderá, assim, ser resumido da seguinte forma:

I) Se “c = 0”: pelo menos uma raiz será nula;

II) Se “b = 0”: as duas raízes serão simétricas ou opostas;

III) Se “a = c”: uma raiz será inversa da oura ou as duas raízes são recíprocas;

IV) Se “|a| > |c|”: pelo menos uma raiz será fracionária;