Sechsecken (»Bienenwaben«), sagen wir eines aus Papier
und darüber eines aus transparenter Folie, und hefte sie
mit einem Reißnagel im Mittelpunkt eines der Sechsecke
zusammen. Wenn man das eine gegen das andere um
60 Grad verdreht, kommen beide Gitter wieder genau
miteinander zur Deckung. Dreht man um genau den
halben Winkel, also 30 Grad, so fallen hier und da einzelne
Sechsecke mehr oder weniger genau zusammen. Wenn
man deren Mittelpunkte miteinander verbindet, ergibt sich
eine nichtperiodische Pflasterung der Ebene, die inzwi-
schen als »Stampfli tiling« in die Literatur eingegangen ist.Unmögliche Tapeten
Offensichtlich hat das Thema Stampfli nicht losgelassen.
Mehr als 30 Jahre später greift er seine Ideen von damals
zusammen mit dem Ansatz von Frank Farris wieder auf.
Im Gegensatz zu damals erlaubt die Leistung der Compu-
ter mittlerweile die Erstellung zahlreicher eindrucksvoller
Bilder, mit fünfzähliger Symmetrie wie bei Farris (siehe
Bild oben links) ebenso wie mit der zwölfzähligen, die sich
beim Überlagern der beiden Bienenwabenmuster ergibt
(siehe Bild oben rechts). Eine umfangreiche Bilderschau
mitsamt detaillierten Erläuterungen hat Stampfli auf
http://www.geometricolor.wordpress.com bereitgestellt. Und
unter http://www.geometricolor.ch/waves.html kann jeder
Benutzer ein Bild seiner Wahl hochladen und eine Pseudo-
tapete daraus machen.
Bemerkenswerterweise lässt sich das Farris-Prinzip der
»unmöglichen Tapete« von zwei auf drei Dimensionen
übertragen: Dazu verdreht man mehrere räumliche Gitter
geeignet gegeneinander und macht die Punkte, in denen
sich zwei Gitter »ungefähr« treffen, zu Punkten einer
nichtperiodischen Pflasterung des Raums. Das kommt den
echten Quasikristallen, die ja nichtperiodische Anordnun-
gen von Atomen im Raum mit – zum Beispiel – fünfzähli-
ger Symmetrie sind, schon ein bisschen näher.
Der französische Architekt Fabien Vienne (1925–2016)
hat dieses Konzept für spezielle Würfelgitter ausgearbeitet.
Und zwar passen fünf Würfel mit ihren Ecken genau in dieEcken eines regulären Dodekaeders. Setzt man jeden
dieser fünf Würfel zu einem unendlichen Gitter im Raum
fort, so finden sich zahlreiche Ungefähr-Treffpunkte.
Paul Gerard van de Veen aus Enschede in den Nieder-
landen, Lehrer und begeisterter Geometrie-Bastler, hat
2013, als die jährlich stattfindende Mathematik-Kunst-
Tagung »Bridges« in seiner Heimatstadt gastierte, Viennes
Konzept in monumentaler Form umgesetzt: Teilnehmer der
Tagung steckten in Gemeinschaftsarbeit aus Kugeln und
Stäben des Geometriebaukastens »Zometool« ein mehrere
Meter großes Stück aus diesem Quasikristall zusammen
(siehe Bilder S. 74 und 75).
Und wozu ist diese ganze hübsch anzusehende Mathe-
matik nutze? Eigentlich ist die Frage ja unzulässig; aber
diesmal gibt es sogar eine konkrete Antwort. Eine Gruppe
fernöstlicher Wissenschaftler hat im Jahr 2018 die erwähn-
ten beiden gegeneinander verdrehten Bienenwabenmuster
aus real existierendem Kohlenstoff hergestellt: zwei
Schichten aus Graphen, das bekanntlich im Sechseckgitter
angeordnet ist. Und in diesem zweidimensionalen Quasi-
kristall haben die Forscher tatsächlich interessante elektri-
sche Eigenschaften gefunden. Für das Titelbild der zuge-
hörigen Ausgabe von »Science« hat die Grafikerin Stampf-
lis Uraltprogramme von damals ausgegraben. QUELLEN
Ahn, S. J. et al.: Dirac electrons in a dodecagonal graphene
quasicrystal. Science 361, 2018
Farris, F. A.: Forbidden symmetries. Notices of the American
Mathematical Society 59, 2012
Farris, F. A., Lanning, R.: Wallpaper functions. Expositiones
Mathematicae 20, 2002LITERATURTIPP
Farris, F. A.: Creating symmetry: the artful mathematics of
wallpaper patterns. Princeton University Press, 2015
Farris erklärt die Mathematik hinter den schönen Mustern.Fünfzähligsymmetrische Pseudotapete von Peter Stampfli,
Farbgebung nach einem echten Foto.Zwölfzähligsymmetrische Pseudotapete von Peter Stampfli,
Farbgebung nach einem echten Foto.PETER STAMPFLI / 5V1LARGE (WWW.FLICKR.COM/PHOTOS/GEOMETRICOLOR/46498084465/) /
CC BY-SA 2.0 (CREATIVECOMMONS.ORG/LICENSES/BY-SA/2.0/LEGALCODE) PETER STAMPFLI / 12V2LARGE (WWW.FLICKR.COM/PHOTOS/GEOMETRICOLOR/32471112427) /
CC BY-SA 2.0 (CREATIVECOMMONS.ORG/LICENSES/BY-SA/2.0/LEGALCODE)