ω′μ e+rf =μ*p. On écrit le Lagrangien,
L =ω′Ω ω+λ(μ*p −ω′μ e−rf)
Les conditions de premier ordre,
∂L
∂ω= 0 → Ωω−λμe=핆.On résout pour ω : ω= Ω−^1 λμe
La condition de premier ordre pour le multiplicateur de Lagrange,
∂L
∂λ= 0 → μp*−ω′μ e−rf = 0 → μ*p =ω′μ e+rfOn remplace ω par sa valeur dans cette dernière expression, on obtient,
μp*=λ(μe)′Ω −^1 μe+rf d’où, l’on tire la valeur de λ :
λ =
μP*−rf
(μe)′Ω −^1 μeOn remplace λ par sa valeur pour avoir la solution optimale ω :
ω =
μP*−rf
(μe)′Ω −^1 μeΩ−^1 μeOn calcule la variance par la formule : σP^2 =ω′Ω ω
Exemple : cas de deux actifs risqué i et j et un actif sûr rf.
La solution pour un niveau donné de rendement espéré μ*p est :
ω =
μP*−rf
(μe)′Ω −^1 μeΩ−^1 μe avec λ=μP*−rf
(μe)′Ω −^1 μe.ω =λΩ−^1 μe ;
ω =(
ωi
ωj) =λ(σi^2 σij
σij σj^2 )− 1(μie
μje)