Gestion de Portefeuille et Applications

cette fois-ci qu’il existe n+ 1 actifs dont n actifs risqués et le (n+ 1 ) ième ac-
tif est un actif sûr avec un rendement rf et une variance nulle.

Pour déterminer l’ensemble des portefeuilles efficients dans ce cas, on ré-
sout le programme quadratique suivant :

min[σP^2 ]=

n

∑

i= 1

n

∑

j= 1

ωiωjσij , sous les contraintes (

n

∑

i= 1

ωiμi)+( 1 −

n

∑

i= 1

ωi)rf = μP*

et

n+ 1

∑i= 1 ωi=^1. Ces deux contraintes peuvent être combinées en une seule :

n

∑i= 1 ωiμ

ie+rf =μ*

P avec, μ

ie =μi−rf , l’espérance du rendement en excès

par rapport au taux sans risque. On remarque qu’il n’y a pas lieu d’émettre
des restrictions sur la somme des poids ; l’investissement dans l’actif non
risqué rend automatiquement la somme des poids égale à l’unité. Comme il
n’y à pas de contraintes additionnelles, on peut trouver une solution expli-
cite. Dans tous les autres cas on doit appliquer un algorithme de minimisa-
tion numérique, les modèles quadratiques sont souvent recommandés. On
écrit le Lagrangien L,

L =σP^2 =

n

∑

i= 1

n

∑

j= 1

ωiωjσij+λ(μP*−

n

∑

i= 1

ωiμie−rf)

Les conditions de premier ordre,

∂L

∂ωi

= 0 =

n

∑i= 1

n

∑j= 1 ωjσij−λ

n

∑i= 1 μ

ie pour i =1,...,n

∂L

∂λ

= 0 =μP*−

n

∑i= 1 ωiμ

ie−rf

En écriture matricielle, min[σP^2 ] =ω′Ω ω , sous la seule contrainte