Gestion de Portefeuille et Applications

ωi=^1
k

μie

σi^2

=^1

k

μi−rf

σi^2

On considère dans ce cas un portefeuille constitué de deux titres risqués i
et j et de l’actif sûr. On se propose de trouver la solution optimale pour un in-
vestisseur dont les préférences sont décrites par une fonction d’utilité
moyenne-variance.

max E[U(Rp)]=E(Rp)−

k

2

Var(Rp) avec

Rp=ωiRi+ωjRj+( 1 −ωi−ωj)rf =ωiRie++ω 2 Rje+rf

E[U(Rp)]=ωiμie+ωjμje+rf − k
2 (

ωi^2 σi^2 +ωjσj^2 + 2 ωiωjσij)

Conditions de premier ordre (c.p.o)

∂E[U(Rp)]

∂ωi

= 0 =μie− k

2 (

2 ωiσi^2 + 2 ωjσij)

∂E[U(Rp)]

∂ωj

= 0 =μje−

k

2 (

2 ωjσj^2 + 2 ωjσij)

En écriture matricielle :

(

μie

μje) =k(

σi^2 σij

σij σj^2 )(

ωi

ωj)= (

0

0 )

μe−kΩω = 0

(

ωi

ωj) =

1

k (

σi^2 σij

σij σj^2 )

− 1

(

μie

μje)