Figure 1 : Evolution de la variance d’un portefeuille en fonction du nombre
de titres.
σij , la moyenne des covariances des rendements entre chaque paire de ti-
tres, qu’on appelle la covariance moyenne, est quasiment une constante si
les titres dans le portefeuille sont choisis de façon purement aléatoire. Lors-
que le nombre de titres dans le portefeuille est suffisamment grand, la cova-
riance moyenne l’emporte sur la variance moyenne au point que lorsque n
tend vers l’infini la variance du portefeuille tend vers la covariance moyenne.
En réalité seul le risque non diversifiable est pris en considération et σij est
positif. On peut montrer que la valeur de σij doit être positive à mesure que
n tend vers l’infini. En effet, il est impossible de combiner un grand nombre
de variables aléatoires (rendements d’actifs ou autre) qui sont en moyenne,
négativement corrélés entre eux. Ceci est contradictoire avec les principes
de diversification et de non négativité de la variance. Si σij < 0 , la variance
du portefeuille σP^2 serait négative à mesure que n augmente, ce qui est im-
possible par construction.