μe−kΩθ =핆. Le portefeuille optimal qui appartient à la frontière effi-
ciente pour un investisseur dont la fonction d’utilité est du type moyenne va-
riance n’est autre que la solution du programme de maximisation de l’espé-
rance d’utilité qu’on peut écrire sous la forme matricielle comme suit :

ω =^1

k

Ω−^1 μe. Les caractéristiques financières du portefeuille optimal sont

: μPe= ω′μ e et σP^2 =ω′Ω ω. Si

n

∑i= 1 ωi≠^0 , on peut alors définir les poids d’un por-

tefeuille constitué exclusivement d’actifs risqués comme suit : θi=

ωi

∑ni= 1 ωi

ou en écriture matricielle : θ =

ω

핀′ω

. La solution optimale pour ce portefeuille

qui est efficient et exclusivement constitué d’actifs risqués et qui corres-
pond en fait au portefeuille de tangence dont les poids sont donnés par l’ex-

pression suivante : ω = θ

− (^1) μe
핀′Ω −^1 μe
.
On en déduit que le portefeuille de tangence a une espérance de rende-
ment,μTe = (μe)′θ = (μ
e)′θ − (^1) μe
핀′Ω −^1 μe
et une variance, σT^2 =θ′^ Ωθ = (μ
e)′Ω − 1
핀′Ω −^1 μe
Ω Ω
− (^1) μe
핀′Ω −^1 μe
ou σT^2 = (μ
e)′Ω − (^1) μe
(핀′Ω −^1 μe)^2
Représentation beta et équilibre du marché :
On montre que : μpe =βpμTe avec βp =
cov(rp,rT)
var(rp)

σpT
σT
On traite le cas d’un marché composé de deux titre risqués i et j et un porte-
feuille de tangence constitué de ces deux titres dans les proportions ωi , ωj :
On calcule :