Gestion de Portefeuille et Applications

On considère une fonction d’utilité du type moyenne variance. On sait
qu’avec ce type de fonction d’utilité, le portefeuille optimal, solution du pro-

blèmemax[μP− k
2

σP^2 ] est un portefeuille qui appartient à la frontière espé-

rance variance. Il suffit pour cela de supposer que la fonction d’utilité a

comme forme fonctionnelle : U(RP)= RP−^1
k

[RP−E(RP)]^2. On détermine en-

suite EU(RP) :

EU(RP) =E(RP)−^1

k

E[RP−E(RP)]^2 =μP−^1

k

σP^2 avec k une constante.

On considère une économie constituée de n+ 1 actifs, les n premiers ac-
tifs sont des actifs risqués. Un investisseur avec une richesse initiale égale à
l’unité choisit un portefeuille avec des poids ωi solution du problème de

maximisation :

max[EU(RP) =μP− k

2

σP^2 ] avec μP=

n

∑

i= 1

ωiμi+( 1 −

n

∑

i= 1

ωi)rf =

n

∑

i= 1

ωiμie+rf

et σP^2 =

n

∑

i= 1

n

∑

j= 1

ωiωjσij , après remplacement de ces quantités dans la fonc-

tion objectif on obtient, EU(RP)=

n

∑

i= 1

ωiμie+rf − k

2

n

∑

i= 1

n

∑

j= 1

ωiωjσij

La condition de premier ordre pour les ωi :

∂EU(RP)

∂ωi

=μie− k

2

2

n

∑

i= 1

n

∑

j= 1

ωjσij= 0 En écriture matricielles on a :

max[EU(RP) =μ− k
2

σ^2 ] avec μ= ω′μ e+rf et σ^2 =ω′Ω ω. Après remplacement

on obtient : EU(RP) =ω′ μe+rf−

k

2

ω′Ω ω.

La condition de premier ordre pour les ωi :

∂EU(RP)

∂ωi

= μe− k

2

2 Ωω =핆 ou