Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

On sait que y =log S
S 0

C= e−rftS (^0) ∫
+∞
logSE 0 (
ey−

E

S 0 )

Φt(y)dy

Après distribution, on obtient la différence de deux intégrales qu’on va calculer sépa-
rément :

C= e−rftS (^0) ∫
+∞
logSE 0
eyΦt(y)dy−e−rftE∫
+∞
logSE 0
Φt(y)dy
Calcul de la première intégrale :

∫

+∞

logSE 0

eyΦt(y)dy

Φμ,σ(y) =^1
σ 2 π

e−

(yt 2 −σ 2 μtt)^2

∫

+∞

logSE 0

eyΦt(y)dy =∫

+∞

logSE 0

1

σ 2 π

e−

(yt 2 −σ 2 μtt)^2

eydy

= ∫

+∞

logSE 0

1

σ 2 πt

e

2 ytσ^2 t−(yt−μt)^2

2 σ^2 t dy

= ∫

+∞

logSE 0

1

σ 2 πt

e

2 ytσ^2 t−y^2 t+ 2 μtyt−μ^2 t^2

2 σ^2 t dy

On multiplie et on divise par la même quantité eμt+0,5σ^2 t qui n’est autre que

E
(

S

S 0 )

=E(ey)=eμ+0,5σ^2