En définitive, on obtient :
∫
+∞logSE 0eyΦt(y)dy =eμt+0,5σ^2 tN−logSE 0 +μt+σ^2 t
σ tOn calcule maintenant la deuxième intégrale :
∫
+∞logSE 0Φt(y)dyPour calculer cette intégrale, il suffit de transformer Φt en une fonction de densité
normale centrée et réduite, échanger ensuite les limites de l’intégration, ceci est possi-
ble puisque la fonction de densité d’une loi normale est symétrique autour de zéro.
∫
+∞logSE 0Φt(y)dy =∫+∞
logSE 0 −μt
σ tft(y)dy =∫−log
SE 0 −μt
σ t
−∞ft(y)dy= N −
logSE 0 −μt
σ tC= e−rftS (^0) ∫
+∞
logSE 0
eyΦt(y)dy−e−rftE∫
+∞
logSE 0
Φt(y)dy
C= e−rftS 0 eμt+0,5σ^2 tN
−logSE 0 +μt+σ^2 t
σ t
−e−rftEN
−logSE 0 +μt
σ t
Cette formule
n’est pas celle de B&S comme on peut le remarquer, parce qu’elle est fonction de μ et
se base sur des probabilités réelles. Pour trouver la formule de B&S, il suffit d’utiliser
les résultats trouvés au paravant lors du passage des probabilités réelles aux probabili-
tés risque neutre :