Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

C(S+dS,t+dt))=C(S,t)+∂∂CSdS+∂∂Ct dt+^12 ∂

(^2) C
∂t^2 dt
(^2) +^1
2
∂^2 C
∂S^2 (dS)
(^2) +^1
2
∂^2 C
∂t∂Sdt×dS+o(dt)
Le temps étant déterministe avec une variance et une covariance nulle
C(S+dS,t+dt))=C(S,t)+ ∂∂CSdS+ ∂∂Ctdt+^12 ∂
(^2) C
∂t^2 dt
2
= 0
+^12 ∂
(^2) C
∂S^2 (dS)
(^2) +^1
2
∂^2 C
∂t∂S=d 0 t×dS+o(dt)
Après simplification on obtient:
C(S+dS,t+dt))−C(S,t)= dC = ∂C
∂S
dS+ ∂C
∂t
dt+^1
2

∂^2 C

∂S^2

(dS)^2

On calcule l’espérance mathématique de dC:

E(dC)= ∂C
∂S

E(dS)+ ∂C

∂t

dt+^1

2

∂^2 C

∂S^2

E((dS)^2 )

On remplace dS et dS^2 par leur valeurs fonction des paramètres stochasti-
ques:

dS= SμSdt+SσSεS dt

dS^2 =S^2 μS^2 dt^2 +S^2 σS^2 εS^2 ( dt)

2

+ 2 ×SμSdt ×SσSεS dt

E(dC)= ∂∂CSE(SμSdt+SσSεS dt)+∂∂Ctdt+^12 ∂

(^2) C
∂S^2 E(S
(^2) μS (^2) dt (^2) +S (^2) σS (^2) εS (^2) ( dt)^2 + 2 ×SμSdt×SσSεS dt
)
On sait que ε ∼N(E(ε)= 0 ;σε^2 =E(ε^2 )= (^1) ), aussi E(dt^2 ) = 0 et
E(dt × (dt))=E(dt^3 /^2 ) = 0 parce que toutes les puissances de dt > 1 don-
nent une valeur de l’espérance nulle.
E(dC)= ∂∂CSE(SμSdt+SσSεS dt
= 0 )
+∂∂Ct dt+^12 ∂
(^2) C
∂S^2 E S
(^2) μS (^2) dt 2
= 0
+S^2 σS^2 εS^2 ( dt)
2
S^2 σS^2 dt

• 2 ×SμSdt×SσSεS dt
  = 0
  Après simplification on obtient: