Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

dS−E(dS)= SμSdt+SσSεS dt−SμSdt−σSE(εS) dt
= 0

dS−E(dS)= SσSεS dt

On reprend l’expression de dC obtenue par les expansion de Taylor et on re-
calcule dC−E(dC):

dC−E(dC)=

∂C

∂S

dS+

∂C

∂t

dt+

1

2

∂^2 C

∂S^2

(dS)^2 −

∂C

∂S

E(dS)−

∂C

∂t

dt−

1

2

∂^2 C

∂S^2

E((dS)^2 )

dC−E(dC) =

∂C

∂S (

dS−E(dS))+

1

2

∂^2 C

∂S^2 (

dS^2 −E(dS^2 ))

On calcule dS^2 −E(dS^2 ):

dS^2 −E(dS^2 )=S^2 μS^2 dt^2 +S^2 σS^2 εS^2 ( dt)

2

+ 2 ×SμSdt ×SσSεS dt

−S^2 μS^2 E(dt^2 )−S^2 σS^2 E(εS^2 )( dt)

2

− 2 ×SμS×SσSE(εS)E(dt dt)

dS^2 −E(dS^2 )=S^2 σS^2 dt(εS^2 −E(εS^2 )), pour εS^2 ≈ E(εS^2 ), dS^2 −E(dS^2 ) = 0

Dans ce cas, on peut écrire que :

dC−E(dC) = ∂C
∂S (

dS−E(dS)) et comme dS−E(dS)= SσSεS dt alors,

dC−E(dC) = ∂C
∂S

SσSεS dt et comme dC−E(dC)= CσCεC dt, alors,

CσCεC dt = ∂C
∂S

SσSεS dt, pour εC≈ εS, On obtient la relation suivante entre

les paramètres stochastiques σC de l’option et σS de l’action:

σC=

∂C

∂S

S

C

σS