→ Pente de la droite de marché des capitaux
L'équation de la nouvelle frontière efficiente en présence d'actif sans risque est:
On égalise les deux pentes on obtient:
Exercice # 2: Risque et portefeuille optimal
On considère un investisseur avec une fonction d’utilité moyenne-variance et un coefficient
d’aversion au risque 푘= 5. Cet investisseur dispose d’une richesse initiale 푊 0 = 1000 qu’il
peut répartir entre un actif sans risque avec un rendement 푟푓=2% et trois actifs risqués avec
des rendements, 푟 1 , 푟 2 et 푟 3 et des prix courants, 푆 1 = 20 , 푆 2 = 40 et 푆 3 = 30.
On considère les portefeuilles A et B avec des espérances de rendement 휇퐴= 0 ,5% et 휇퐵=
1% (fréquence mensuelle). On donne les poids relatifs à chacun des trois titres dans chacun
des deux portefeuilles conformément au tableau suivant :
(^) 휇퐴= 0 ,5% 휇퐵=1%
titre 1 0,8 - 0,7
titre 2 - 0,3 1,7
titre 3 0,5 0
On donne aussi la matrice des variances-covariances pour les trois titres, calculée à partir des
rentabilités mensuelles:
Ω=(
0 , 024 0 , 002 0 , 004
0 , 002 0 , 003 0 , 001
0 , 004 0 , 001 0 , 007
)
- Déterminer les risques (volatilités annuelles, 휎푖) des deux portefeuilles de la frontière ainsi
que leur covariances et corrélations.- Déterminer la composition d’un fonds à ‘‘risque minimum’’ (entre les portefeuilles A et
B), l’allocation doit comporter des pondérations dans les trois actifs élémentaires 1, 2 et 3.ce fonds n’investit pas dans l’actif sans risque. Déterminer son risque, son espérance derendement. Indiquer le nombre d’unités des trois actifs achetés ou vendus à découvert.- Comment est-ce qu’un investisseur, moyenne variance avec un coefficient d’aversion
pour le risque 푘= 5 répartirait sa richesse entre l’actif sans risque et le portefeuille risquéoptimal sachant que 휇표푝푡푖푚푎푙= 13 ,10% et 휎표푝푡푖푚푎푙= 18 ,75%Solution:
−
= + p
MM f
p f^rr
−
=
=
MM f
p M
pp r
p M^0 ,3148
pp
=
=p= 0 ,3148p= 0 ,1+ 0 ,3148 pp= 1 9,91%