VII. Integrali di superfice

L = LOA + LAB + LBP

Tratto OA {

0 ≤푥≤ 1

푦= 0

푧= 0

푞푢푖푛푑푖 {

푑푥=푑푥

푑푦= 0

푑푧= 0

퐿푂퐴=∫푂퐴( 2 푥+푦)푑푥+푥푑푦− 2 푧푑푧=

∫^2 푥푑푥

1

0 =^1

Tratto AB {

푥= 1

0 ≤푦≤ 1

푧= 0

푞푢푖푛푑푖 {

푑푥= 0

푑푦=푑푦

푑푧= 0

퐿퐴퐵=∫푂퐴( 2 푥+푦)푑푥+푥푑푦− 2 푧푑푧=

∫ 1 푑푦

1

0 =^1

Tratto BP {

푥= 1

푦= 0

0 ≤푧≤ 1

푞푢푖푛푑푖 {

푑푥= 0

푑푦= 0

푑푧=푑푧

퐿퐵푃=∫퐵푃( 2 푥+푦)푑푥+푥푑푦− 2 푧푑푧=

− 2 ∫ 푧푑푧

1

0 =−^1

in totale L = 1

2) La retta OP si definisce dal punto O = (0 ,0 ,0) e dal vettore 푶푷⃗⃗⃗⃗⃗⃗^ =(ퟏ,ퟏ,ퟏ) , perciò

le sue equazioni parametriche sono:

{

푥= 1 ∙ 푡 + 0

푦= 1 ∙푡 + 0

푧= 1 ∙푡 + 0

푝푒푟 0 ≤푡≤ 1 푞푢푖푛푑푖 {

푑푥=푑푡

푑푦=푑푡

푑푧=푑푡

Sostituendo nel integrale si ha:

퐿=∫ ( 2 푥+푦)푑푥+푥푑푦− 2 푧푑푧

푂푃

=∫( 2 푡+푡)푑푡+푡푑푡− 2 푡푑푡

1

0

= 1

3) Cerchiamo di calcolare l’integrale con aiuto della primitiva se esiste.

퐿=∫푂푃( 2 푥+푦)푑푥+푥푑푦− 2 푧푑푧

Controlliamo se esiste la funzione primitiva per l’espressione