dove 푟 =푥 푖 +푦 푖 + 푧 푖 è il raggio vettore della massa m, mentre 푟=√푥^2 +푦^2 +푧^2.
Si può dimostrare che il differenziale totale 푑푟=푥푟 푑푥+푦푟 푑푦+ 푧푟 푑푧.
Le proiezioni algebriche di questa forza sugli assi delle coordinate saranno:
푃=−푘
푚 푀
푟^3
푥 , 푄=−푘
푚 푀
푟^3
푦 , 푅=−푘
푚 푀
푟^3
푧
Si può provare che si ha :
푃푌 ′ =푄푋 ′ , 푅푋 ′ =푃푍 ′ , 푄푍 ′ =푅푌 ′
quindi esiste la funzione primitiva U che si calcola con la formula (1).
Noi vogliamo trovare il lavoro dal punto A in B , quindi :
푊=푉(퐴)−푉(퐵)= ∫ 푃 푑푥+푄 푑푦+푅 푑푧
퐵퐴푊=−푘푚푀 ∫
푥 푑푥+푦 푑푦+푧 푑푧
푟^3
퐵퐴=−푘푚푀 ∫
푑푟
푟^2
퐵퐴=−푘푚푀[−
1
푟
]
퐴퐵Ovvero :
푊=−푘푚푀
1
푟퐴−(−푘푚푀
1푟퐵)
=푉(퐴)−푉(퐵) =
Quindi il potenziale della forza gravitazionale è :
푉=−푘푚푀
1
푟
+퐶
6. Legame tra l’integrale triplo e l’integrale di superficie.
Formula Gauss- Ostrogradskij. Teorema della divergenza.
Sia T un solido chiuso nello spazio con la frontiera la superficie regolare e chiusa S. Siano P, Q, R
funzioni di tre variabili definiti in T, continue insieme con le derivate parziali.
Allora è vera la formula:
∫∫∫푇^ (푃푥 ′ +푄푦 ′ +푅 ′ 푧)^ 푑푥푑푦푑푧^ =^ ∮∮푆푃푑푦푑푧^ +^ 푄^ 푑푧푑푥+^ 푅^ 푑푥푑푦^ (1)^
Che si dice “ formula di Gauss – Ostrogradskij ”.
L’integrale destro è di superficie di secondo tipo calcolato secondo la superficie regolare chiusa S.
Dimostrazione :