VII. Integrali di superfice

Dalla formula di Gauss-Ostrogradskij, si ottiene:

퐼=∫∫∫퐹푦 ′ (푥,푦,푧)

푇

푑푥푑푦푑푧=∮∮퐹(푥,푦,푧) 푑푥푑푧

푆

La S contiene due cerchi nei piani z = 0 e z = 1 e una superficie cilindrica a raggio 1, tra questi due
piani, quindi il nostro integrale è la somma di tre integrali di superficie.

Gli integrali di superficie su due cerchi proiettati sul piano xz valgono zero.
Rimane solo l’integrale sulla superficie cilindrica quindi:

퐼=∫∫ 퐹(푥,푦,푧) 푑푥푑푧

푆푐푖푙푖푛

Parametrizzando la superficie cilindrica con le coordinate cilindriche:

x= 1 cosq

y= 1 sinq

z=z

ì

í

ï

î

ï

con 0 £q£ 2 p, 0 £z£ 1

si ha inoltre

푑푥 푑푧=|−sin휃^0

0 1

|푑휃 푑푧=−sin휃 푑휃 푑푧

sostituendo nell’integrale si ottiene:

퐼=−∫∫ 퐹(푐표푠휃,푠푖푛휃,푧)⋅푠푖푛휃⋅푑휃푑푧

0 ≤휃≤ 2 휋

0 ≤푧≤ 1

z

x

y

1

1