Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Disegnando il grafico della funzione sin x per questi tre esempi possiamo scoprire che l’integrale
definito calcola “la somma delle l’aree algebriche” della zona limitata dal grafico della funzione f ,
dalle rette x=a, x=b e dall’asse delle x.

Esercizi.

1) Dare la spiegazione geometrica perché

2) Calcolare l’area limitata dal grafico della funzione sin(x) nell’intervallo [

3) Calcolare l’area limitata dal grafico della funzione sin(x) nell

4) Dimostrare che il valore dell’integrale definito non dipende dalla primitiva scelta per il

calcolo.

3. Propriètà dell’integrale definito.

1. 
   

   Se f(x) > 0 nell’intervallo [a, b] allora
   Infatti: F è una funzione monotona crescente perché la sua derivata f è positiva. Quindi dal a<b
   segue F(a)<F(b), quindi la differenza F(b)

   
   


2. 
   

   Se f(x) < 0 nell’intervallo [a, b] allora

   
   


3. 
   

   Se f(x) = 0 nell’intervallo [a, b] allora

   
   


4. 
   

   ᔖ〨〨ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ = 0

   
   


5. 
   

   ᔖ〨〩ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ 㐄 ㎘ᔖ〩〨

   
   


6. 
   

   ᔖ〨〩ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ 㐄ᔖ〨〰ᡘ䙦

   
   

Infatti : (^) ᔖ〨〰ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ ㎗ ᔖ〰〩ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ
㐄ᔖ〨〩ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ
7) ᔖ〨〩ᡣ ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ 㐄 k ᔖ
integrale.
Infatti: se ᠲ䙦ᡶ䙧㐄ᔖᡣ ᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ è una primitiva della funzione k f, allora dalle proprietà
dell’integrale indefinito si ha ᠲ䙦ᡶ
due integrali.
8) (^) ᔖ〨〩䙦ᡘ⡩䙦ᡶ䙧㎗ᡘ⡰䙦ᡶ䙧䙧ᡖᡶ
Disegnando il grafico della funzione sin x per questi tre esempi possiamo scoprire che l’integrale
definito calcola “la somma delle l’aree algebriche” della zona limitata dal grafico della funzione f ,
b e dall’asse delle x.
Dare la spiegazione geometrica perché ᔖ⡨⡰ゕsinᡶ ᡖᡶ 㐄 0 .
Calcolare l’area limitata dal grafico della funzione sin(x) nell’intervallo [
Calcolare l’area limitata dal grafico della funzione sin(x) nell’intervallo [
Dimostrare che il valore dell’integrale definito non dipende dalla primitiva scelta per il

3. Propriètà dell’integrale definito.
   Se f(x) > 0 nell’intervallo [a, b] allora ᔖ〨〩ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ 㐈 0;
   monotona crescente perché la sua derivata f è positiva. Quindi dal a<b
   segue F(a)<F(b), quindi la differenza F(b)-F(a) > 0. Dalla formula Newton-Leibniz abbiamo c.v.d.

2) Se f(x) < 0 nell’intervallo [a, b] allora ᔖ〨〩ᡘ䙦ᡶ䙧    ᡖᡶ 㐇 0 ;

3) Se f(x) = 0 nell’intervallo [a, b] allora ᔖ〨〩ᡘ䙦ᡶ䙧    ᡖᡶ 㐄 0;

〩〨ᡘ䙦ᡶ䙧  ᡖᡶ^

䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ  ㎗   ᔖ〰〩ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ                                              ᡨᡗᡰ ᡩᡳᡓᡤᡱᡡᡓᡱᡡ       ᡲᡰᡗ

䙦 䙧ᡖᡶ 㐄 ᠲ䙦ᡕ䙧㎘ᠲ䙦ᡓ䙧㎗ᠲ䙦ᡔ䙧㎘ᠲ䙦ᡕ䙧㐄 ᠲ䙦ᡔ䙧

ᔖ〨〩ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ , il fattore costante può uscire dal segno dell’

è una primitiva della funzione k f, allora dalle proprietà

䙦ᡶ䙧㐄 ᡣᔖ ᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ. Quindi abbiamo la stessa primitiva per tutti e

䙦 䙧ᡖᡶ 㐄ᔖ〨〩ᡘ⡩䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ   ㎗  ᔖ〨〩ᡘ⡰䙦ᡶ䙧    ᡖᡶ                                                  

Disegnando il grafico della funzione sin x per questi tre esempi possiamo scoprire che l’integrale
definito calcola “la somma delle l’aree algebriche” della zona limitata dal grafico della funzione f ,

Calcolare l’area limitata dal grafico della funzione sin(x) nell’intervallo [π, 2π].

’intervallo [0, 2π].

Dimostrare che il valore dell’integrale definito non dipende dalla primitiva scelta per il

monotona crescente perché la sua derivata f è positiva. Quindi dal a<b

Leibniz abbiamo c.v.d.

ᡲᡰᡗ         ᡨᡳᡦᡲᡡ   ᡓ,ᡔ,ᡕ   

䙦 䙧㎘ᠲ䙦ᡓ䙧㐄

, il fattore costante può uscire dal segno dell’

è una primitiva della funzione k f, allora dalle proprietà

. Quindi abbiamo la stessa primitiva per tutti e