- Esercizi risolti.
- Calcolare il momento d’inerzia di una trave lineare omogenea di lunghezza L e di massa
M, rispetto all’ estremo O.
Soluzione.
Sia di lunghezza dx un pezzo elementare nella distanza x dall’estremo O. La densità lineare della
trave omogenea è 〔〓.
Quindi la massa di questo pezzo è 〔〓 ᡖᡶ.
Il momento elementare d’inerzia di un pezzo dx nella distanza x è il prodotto della massa di
questo elemento con il quadrato della distanza dall’estremo O.
ᡖᠵ 㐄ᠹ
ᠸ ᡖᡶ ∙ ᡶ⡰Quindi il momento dell’inerzia della trave sarà l’integrale definito :ᠵ 㐄 㔅ᠹ
ᠸ ᡶ⡰ ᡖᡶ〓
⡨
Calcolando si trova ᠵ 㐄⡩⡱ ᠹᠸ⡰
2) Trovare il volume del corpo di rotazione che si ottiene dalla rotazione del grafico della
parabola y=x^2 intorno all’asse delle x nell’intervallo [0, ❸].
Soluzione :
ᡈ 㐄 . ᔖ⡨ゕ ᡶ⡲ .ᡖᡶ 㐄 ..䙴け
ㄡ
⡳䙵⡨⡩
㐄 ..⡩⡳- Calcolo numerico dell’ integrale definito
Con aiuto delle primitive per calcolare l’integrale definito di una funzione f abbiamo usato la
formula:
㔅 ᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ 㐄 ᠲ䙦ᡔ䙧㎘ ᠲ䙦ᡓ䙧〩
〨
Spesso per trovare l’espressione analitica della primitiva F(x) si chiede molto lavoro oppure non
la possiamo trovare anche se, che nel caso in cui f è continua, sappiamo teoricamente che la
primitiva F esiste. Vedremmo adesso alcuni metodi numerici per calcolare approssivamente
l’integrale definito senza conosce la primitiva F. Questi metodi si usano anche nei casi in cui non
si conosce nemmeno la formula analitica della funzione f, ma solo alcuni valori f(x i), in alcuni punti
xi.
6.1 Formule dei rettangoli.
Dividiamo l’intervallo [ a, b ] in n intervalli uguali di ampiezza
ℎ 㐄〩⡹〨ぁ , ᡥᡗᡖᡡᡓᡦᡲᡗ ᡖᡗᡡ ᡨᡳᡦᡲᡡ ᡓ = ᡶ⡨< ᡶ⡩< ᡶ⡰< ⋯ < ᡶぁ⡹⡩< ᡶぁ= ᡔ.
0 dx Lx