Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Prof. Mehdi Shkreli

III. Capitolo. Integrali impropri.

Gli integrali impropri oppure generalizzati sono di due tipi:

1. Integrale improprio del primo tipo:

sono tutti gli integrali definiti in cui almeno uno degli estremi è infinito.

→+∞

+∞

∫ = +∞ − +∞ =

a x

f ( x ). dx F ( ) F ( a ) dove F ( ) lim F ( x )

mentre la primitiva F ( x )=∫ f ( x ). dx

Esercizi

+∞ +∞

∫ =

(^11)
2 x
x
dx =+∞ − 2 =+∞ , l’integrale è divergente.
2) = = +∞− =+∞
+∞ +∞
∫ ln^0
(^11)
x
x
dx , l’integrale è divergente.
3)^1111
(^11)
(^2) +∞+ =
 = −

 

=−
+∞ +∞
∫ x x
dx , l’integrale è convergente.
Tre esercizi si presentano geometricamente :
Integrale standard del primo tipo:





+∞ ≤

∫ = −
+∞
se diverge
se converge
x
dx
,1
,1.
1
1
(^1) α
α
α α^
I tre esempi dati sono tre casi particolari dell’ integrale standard del primo tipo.
Diamo adesso alcuni casi in cui si può definire la natura dell’integrale improprio del primo tipo
senza calcolarlo.
1 1 1
x
1
x
1
(^12)
x
+∞ (^) +∞ (^) + 1