Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

1.1 Teorema

Siano f, g due funzioni nonnegative definite nell’intervallo illimitato [a, +∞),

se in questo intervallo risulta che :

f(x) ≤ g(x)

allora :

a) se converge l’integrale ∫

+∞

a

g ( x ) dx allora converge anche ∫

+∞

a

f ( x ) dx

b) se diverge l’integrale ∫

+∞

a

f ( x ) dx allora diverge anche ∫

+∞

a

g ( x ) dx.

Esempio. L’integrale dx

x

x

∫

+∞ +

1

1 sin^2

è divergente perché :

x x

1 +sin^2 x ≥ (^1) per x ≥ 1 , l’integrale della funzione sinistra diverge perché è un integrale
standard con α≤ 1.
1.2 Teorema
Se f ( x ) ha integrale convergente in [a, +∞[ allora anche f(x) ha integrale convergente.
Esempi.

1. dx
   x
   x
   ∫
   +∞
   2
   2
   cos converge poiché
   2
   cos
   x
   x
   2
   1
   x
   ≤


2. dx
   x x
   x
   ∫
   +∞

• −
  1 3
  1 4 sin (^2) converge poiché
  3 3
  1 4 sin (^25)
  x x x
  x
  ≤


• 
  

  −
  1.3 Teorema
  Se f , g sono infinitesimi dello stesso ordine per x → +∞ cioè x lim→+∞ = k ≠ 0
  g
  f
  allora loro integrali impropri hanno la stessa natura.
  Esempio. ∫
  +∞
  1
  3
  (^1) dx
  x
  e ∫
  +∞
  1
  3
  (^5) dx
  x
  hanno la stessa natura, sono tutte e due convergenti.
  Corollario.
  Se f, g sono infinitesimi equivalenti per x →+∞ allora loro integrali impropri hanno lo stessa
  natura.
  Esempio.
  ∫
  +∞
  1
  3
  sin^1 dx
  x
  e ∫
  +∞
  1
  3
  (^1) dx
  x
  sono integrali convergenti perché sin^13
  x
  ~^13
  x

  
  

2. Integrale improprio di secondo tipo,
   Sono tutti gli integrali definiti negli intervalli limitati in cui esiste almeno uno punto in cui la
   funzione è infinito.