si ha
xcos^2 x ≤
x(^1) l’integrale della funzione destra converge perché è un integrale standard
di secondo tipo con β< 1.
2.2 Teorema
Se f ( x ) ha integrale convergente in ]0, a], allora anche f(x) ha integrale convergente in
questo intervallo.
Esempio.
dx
x
xb
∫
1
0
sin converge, perché
x x
sin xb ≤ (^1)
2.3 Teorema
Se f , g sono infiniti dello stesso ordine per x → 0 + cioè se x lim→+ 0 = k ≠ 0
g
f
allora loro integrali impropri hanno la stessa natura.
Esempio. (^) ∫
1
0
3
(^1) dx
x
e ∫
1
0
3
(^5) dx
x
hanno la stessa natura, sono tutte e due divergenti
Corollario.
Se f, g sono infiniti equivalenti per x →+0 allora loro integrali impropri hanno lo stessa
natura
Esempio.
dx
x
x
∫
(^1) +
0 2/3
ln( 1 ) poiché per x → +0 si ha
2/3
ln( 1 )
x
- x ~
2/3
2
2
1
x
x − x
~ 2/3
x
x ~
2/1
1
x
allora l’integrale dato è converge.
Esercizi.
- Studiare la natura dell’ integrale ∫
+∞
12 3 + −^7
(^1) dx
x x
. - Studiare la natura dell’integrale al variare della k numero reale
(^) ∫
+∞ + −
1
(^422 ln)
dx
x
x x x x
k. ( converge per k>2 ... ricordare che ln x < x) - Calcolare l’integrale ∫
+∞
- −
3
2
2
1
( ) 1
dx
x
arctgx
.
- ∫
+∞
1 x^2 2( +cos x )
dx ( converge, usare il criterio del confronto)