Ix =∫∫ Dy ( x , y ) dx dy
(^2) μ
Ugualmente si trova il momento d’inerzia della piastra rispetto all’asse delle y :
=∫∫
D
Iy x^2 μ( x , y ) dx dy
Nel caso in cui la piastra è omogenea con densità puntuale di superficie costante uguale al μ = 1,i
momenti d’inerzia sono:
=∫∫
D
Ix y^2 dx dy
=∫∫
D
Iy x^2 dx dy
1.6 Problema. Trovare il momento d’inerzia rispetto all’origine delle coordinate di una
piastra D con la densità μ(x,y).
Soluzione: Sia dm = μ(x,y) dA , la massa elementare del pezzo dA= dx .dy. Il momento d’inerzia dIo
di questa massa elementare rispetto all’origine è il suo prodotto per il quadrato della distanza da
questo punto:
dIo = (x^2 + y^2 ) dm ovvero dIo = (x^2 + y^2 ) μ(x,y) dA.
Il momento d’inerzia Io della piastra D rispetto all’origine, è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale doppio:
Io =∫∫ D ( x + y ) ( x , y ) dx dy
(^22) μ
Teorema: Il momento di inerzia di una piastra piana rispetto ad un punto è uguale alla somma dei
momenti d’inerzia di questa piastra rispetto ai due assi perpendicolari che passano per questo
punto.
Infatti: Basta scomporre l’ultimo integrale in come somma di due integrali e si ottiene:
Io = Ix + Iy.
1.7 Problema. Calcolare il volume di un corpo cilindroide.
Soluzione. Dividiamo il corpo dato in piccolissimi prismi con la superficie di base
dx.dy e di altezza z= f(x,y). Il volume di uno di questi prismi sarebbe:
dV = f(x,y) dx dy.
Il volume totale di un solide nella forma di cilindroide sarà la somma di tutti di questi piccolissimi
volumi,cioè l’integrale doppio:
=∫∫
D
V f ( x , y ) dx dy
dx dy
Y
X
Z f(x,y)
D