Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

3.Integrale doppio in coordinate polari.

Siano 䙦..,‖䙧 ᡤᡗ ᡕᡧᡧᡰᡖᡡᡦᡓᡲᡗ ᡨᡧᡤᡓᡰᡡ ᡖᡡ ᡳᡦ ᡨᡳᡦᡲᡧ 䙦ᡶ,ᡷ䙧 ᡦᡗᡤ ᡨᡡᡓᡦᡧ. ᡅᡡᡓ ᡁ ᡡᡤ ᡨᡧᡤᡧ ᡡᡦ ᡕᡧᡥᡳᡦᡗ
ᡖᡗᡤ ᡱᡡᡱᡲᡗᡥᡓ ᡨᡧᡤᡓᡰᡗ ᡗ ᡖᡗᡤ ᡱᡡᡱᡲᡗᡥᡓ ᡕᡓᡰᡲᡗᡱᡡᡓᡦᡧ ᡁᡶᡷ.

Le formule del cambio delle coordinate in questo caso saranno:

ᡆ:㐠ᡷ = .. ᡱᡡᡦ‖ᡶ = .. ᡕᡧᡱ‖ ̄ ᡕᡧᡦ .. ≥ 0 , 0 ≤ ‖ ≤ 2. ᡥᡗᡦᡲᡰᡗ ᡆ⡹⡩: 㐡

.. = 㒓ᡶ⡰+ᡷ⡰

ᡲᡙ‖ =げけ

̄ᡕᡧᡦ        ᡶ,ᡷ ∈ ᡄ.

Calcoliamo il jacobiano della T:

ᠶ䙦..,‖䙧= 䜈

ᡶゖ䖓 ᡶょ䖓

ᡷゖ䖓 ᡷょ䖓䜈 = 㘨

ᡕᡧᡱ‖ −..ᡱᡡᡦ‖

ᡱᡡᡦ‖ ..ᡕᡧᡱ‖ 㘨 =     ..^

Dalla formula (5) si ottiene la formula per calcolare l’integrale doppio nelle coordinate polari:

㔉ᡘ䙦ᡶ,ᡷ䙧ᡖᡶᡖᡷ = 㔉ᡘ䙦..ᡕᡧᡱ‖,..ᡱᡡᡦ‖ 䙧..

々 々䖓

ᡖ..ᡖ‖                       䙦6䙧

Zona D’ nel piano polare 䙦..,‖䙧 si dice regolare se ogni raggio polare che passa per un punto
interno della zona D’, interseca il bordo della zona al massimo in due punti. L’integrale a destra
della formula (6) sarà calcolato solo nel caso in qui la zona D’ è regolare nel piano polare.
Possiamo avere casi diversi di zone regolari nel piano polare.

i) Il polo si trova fuori dalla zona.

In questo caso la zona regolare si limita dalle curve polari :

.. 㐄 ..⡩䙦‖䙧 , .. = ..⡰䙦‖䙧 ᡗ ᡖᡓᡙᡤᡡ ᡰᡓᡙᡙᡡ ‖ = ‖⡩ , ‖ = ‖⡰
Quindi l’integrale nelle coordinate polari sarà calcolato con la formula:

(x,y) (ρ,θ)

θ

y

x

y

x

0

y

x

Ρ 1 (θ)

θ 1

θ 2 θ

D Ρ 2 (θ)

O