Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

semplificando con .. 㐈0 ᡱᡡ ᡧᡲᡲᡡᡗᡦᡗ .. ≤ 2ᡰᡱᡡᡦ‖ ,
ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ ᡤᡓ ᡸᡧᡦᡓ ᠰ䖓∶ 0 ≤ .. ≤ 2ᡰᡱᡡᡦ‖ ᡕᡧᡦ 0 ≤ ‖ ≤ . .

㔉㒓ᡶ⡰+ᡷ⡰ᡖᡶᡖᡷ  = 㔉....ᡖ..ᡖ‖ =     

々䖓

㔅ᡖ‖ 㔅 ..⡰

⡰ぅう〒ぁょ

⡨

ゕ

⡨

ᡖ.. = 㔅ᡖ‖䚀

..⡱

3 䚁⡨

⡰ぅう〒ぁょ

=

ゕ

々 ⡨

=

8ᡰ⡱

3 㔅ᡱᡡᡦ

⡱‖

ゕ

⡨

ᡖ‖ = −

8ᡰ⡱

3 㔅ᡱᡡᡦ

⡰

ゕ

⡨

‖ᡖ 䙦ᡕᡧᡱ‖ 䙧= −

8ᡰ⡱

3 㔅䙦1−ᡕᡧᡱ

⡰‖

ゕ

⡨

䙧   ᡖ䙦ᡕᡧᡱ‖ 䙧=

= −⡶ぅ

ㄙ

⡱ 䙴ᡕᡧᡱ‖ −

〰あうㄙょ

⡱ 䙵⡨

ゕ

= −⡶ぅ

ㄙ

⡱ 䙴−

⡲

⡱䙵 =

⡱⡰

⡷ᡰ

⡱.

3.1 Coordinate polari generalizzate.

Si dicono le coordinate polari generalizzate la coppia (..,‖䙧 date con le formule :

㐠ᡶ = ᡓ..ᡕᡧᡱ‖ᡷ = ᡔ..ᡱᡡᡦ‖ ̄

Calcolo il jacobiano di questo cambio:

ᠶ䙦..,‖䙧= 㘨ᡓᡕᡧᡱ‖ −ᡓ..ᡱᡡᡦ‖ᡔᡱᡡᡦ‖ ᡔ..ᡕᡧᡱ‖ 㘨 = ᡓᡔ..

Esercizio.

Calcolare l’area D limitata dall’ ellisse data con l’equazione け

ㄘ

〨ㄘ㎗

げㄘ

〩ㄘ㐄 1.

Soluzione: Passando nelle coordinate polari generalizzate si ottiene che la zona D’ limitata dal
ellisse si esprime :

㐠ᡶ 㐄 ᡓ..ᡕᡧᡱ‖ᡷ 㐄 ᡔ..ᡱᡡᡦ‖ ̄ con ᠰ䖓:㐠0 ≤ ‖ ≤ 2.0 ≤ .. ≤ 1 ̄

ᠧ = 㔉ᡖᡶᡖᡷ = 㔉 ᡓᡔ..ᡖ..ᡖ‖ = ᡓᡔ㔅 ᡖ‖㔅 ..ᡖ.. = .ᡓᡔ

⡩

⡨

⡰ゕ

々 々䖓 ⡨
Esercizio.

Calcolare l’area della ragione ᠧ 㐄 䙶䙦ᡶ,ᡷ䙧∈ ᡄ⡰:䙦 け

ㄘ

⡲ +ᡷ

⡰≤ 1    䙧∩ 䙦ᡶ ≥ 1䙧䙷

1) Soluzione nelle coordinate polari generalizzate:

La zona data è un pezzo dell’ ellisse con semiassi a = 2 , b = 1.

O

x

y

ρ(θ)

θ

b

a