Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Ugualmente si trovano i momenti statici del corpo E rispetto ai piani xz e yz con gli integrali tripli :

=∫∫∫ ⋅ ⋅
E

Sxz y μ( x , y , z ) dx dy dz =∫∫∫ ⋅ ⋅

E

Syz x μ( x , y , z ) dx dy dz

1.4 Problema. Trovare il centro della gravità, il centro delle masse, del corpo E con la densità
puntuale in volume μ(x,y,z).
Soluzione:
Il centro G = ( XG , Y G , ZG ) delle masse si definisce come un punto materiale dove è concentrata
tutta la massa m del corpo e ha con i piani xy, xz, yz gli stessi momenti statici come lo stesso corpo.
Perciò si ottiene:
XG m = S yz
YG m = Sxz
ZG m = Sxy
quindi

XG = m ⋅∫∫∫ E x ⋅ ( x , y , z ) dx dy dz

(^1) μ
YG = m ⋅∫∫∫ E y ⋅ ( x , y , z ) dx dy dz
(^1) μ
ZG = m ⋅∫∫∫ E z ⋅ ( x , y , z ) dx dy dz
(^1) μ dove
=∫∫∫
E
m μ( x , y , z ) dx dy dz
Nel caso in cui il corpo è omogeneo, cioè con la densità di volume costante μ(x,y,z) = μ, allora
portando fuori l’integrale la μ e semplificando, le formule per trovare il centro delle masse saranno
= ⋅∫∫∫
E
XG V xdx dy dz
(^1)
= ⋅∫∫∫
E
YG V ydx dy dz
(^1)
= ⋅∫∫∫
E
ZG V zdx dy dz
(^1)
dove il volume è =∫∫∫
E
V dx dy dz.
1.5 Problema. Trovare i momenti d’inerzia rispetto ai piani delle coordinate del corpo E, con la
densità puntuale in volume μ(x,y,z).
Soluzione: Sia dm = μ(x,y,z) dV , la massa elementare del parallelepipedo infinitesimale con
volume dV= dx dy dz. Il momento d’inerzia dIx di questa massa elementare rispetto al piano xy è il
suo prodotto per il quadrato della distanza dal questo piano:
dIxy = z^2 dm cioè dIxy = z^2 μ(x,y) dV.
Il momento d’inerzia del corpo E rispetto al piano xy, è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale triplo:
=∫∫∫
E
Ixy z ( x , y , z ) dx dy dz
(^2) μ
Ugualmente si trova i momenti d’inerzia del corpo rispetto ai piani xz e yz:
=∫∫∫
E
Ixz y^2 μ( x , y , z ) dx dy dz =∫∫∫
E
Iyz x^2 μ( x , y , z ) dx dy dz
1.6 Problema. Trovare il momento d’inerzia rispetto all’origine O delle coordinate del corpo E
con la densità μ(x,y,z).
Soluzione: Sia dm = μ(x,y,z) dV , la massa elementare di un parallelepipedo dV = dx.dy dz.
Il momento d’inerzia dIo di questa massa elementare rispetto all’origine è il suo prodotto per il
quadrato della distanza da questo punto: