Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Prof. Mehdi Shkreli.

V. Capitolo. Integrale triplo.

1. Problemi che portano al concetto dell’integrale triplo.

Vediamo alcuni problemi che portano al concetto dell’integrale triplo.
1.1 Problema. Trovare il volume di un corpo E.

Sia dV il volume di un parallelepipedo infinitesimale del corpo, allora si ha:
dV = dx. dy. dz
Il volume totale di questo corpo sarebbe la somma di tutti questi pezzi, cioè l’integrale triplo:

V = ∫∫∫ ⋅ ⋅
E

dx dy dz

1.2 Problema. Trovare la massa di un corpo E con la densità puntuale μ(x,y,z) nel suo volume.
Soluzione:
La massa elementare dm di un volume infinitesimo dV del corpo sarebbe
dm = μ(x,y,z) dV ovvero, dm = μ(x,y,z) dx dy dz.
La massa m del corpo sarebbe la somma di tutti questi pezzi, cioè l’integrale triplo:

=∫∫∫ ⋅ ⋅ ⋅
E

m μ( x , y , z ) dx dy dz

1.3 Problema. Trovare i momenti statici rispetto ai piani del corpo E con la densità μ(x,y,z).

Soluzione: Sia dm = μ(x,y,z) dV , la massa elementare del pezzo dV. Il momenti statico dSxy di
questa massa elementare rispetto al piano xy è il suo prodotto per la sua applicata z:
dSxy = z dm cioè dSxy = z μ(x,y,z) dV
Il momento statico del corpo E rispetto al piano xy, è la somma di tutti questi momenti elementari,
cioè l’integrale triplo:

=∫∫∫ ⋅ ⋅

E

Sxy z μ( x , y , z ) dx dy dz

z

x

z

y

E