Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

dIo = (x^2 + y^2 + z^2 ) dm ovvero dIo = (x^2 + y^2 + z^2 ) μ(x,y,z) dV
Il momento d’inerzia Io del corpo rispetto all’origine O, è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale triplo:

=∫∫∫ + +

E

IO ( x^2 y^2 z^2 )μ( x , y , z ) dx dy dz

Teorema : Il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un punto è uguale alla somma dei momenti
d’inerzia del corpo rispetto ai tre piani perpendicolari uno ad altro e che passano per questo punto.
Infatti: Basta scomporre l’ultimo integrale in tre integrali e si ottiene:
IO = Ixy + Ixz + Iyz.

2. Calcolo dell’integrale triplo.
   La il corpo è regolare nella direzione dell’asse Z, vuol dire che ogni retta che passa per un punto
   interno del corpo taglia la frontiera al massimo in due punti, mentre la proiezione Exy del corpo nel
   piano XY, è regolare almeno in una delle direzioni x oppure y.

L’integrale triplo in questo caso si calcola con aiuto di due integrali: un integrale interno definito
negli estremi:

z 1 ( x , y )≤ z ≤ z 2 ( x , y )

e l’altro esterno che è un integrale doppio nella zona piana E xy con la formula :.^

∫∫∫ = ∫∫ ∫

E E

z x y

xy z x y

f x y z dx dy dz dxdy f x y z dz

( , )

( , )

2

1

( , , ) ( , , )

Sempre, prima bisogna calcolare l’integrale interno e poi l’integrale doppio esterno.
Esercizio.
Calcolare la massa del tetraedro limitato dai piani x=0, y=0, x+y+z = 1, sapendo che la densità in
volume è μ(x,y,z) = x+y+2z.
Soluzione: Disegno il dato tetraedro E e la sua proiezione Exy nel piano xy:

X

Y

Z

E

.

Z 1 =Z 1 (x,y)

Z 2 = Z 2 (x,y)

Exy

a

b