Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Gli estremi della variabile z sono il piano xy, z = 0 , ed il piano dato z = 1-x-y,
quindi la massa del nostro tetraedro sarà:

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫

− −

= = + + = + +

E E E

x y

xy

m x y z dx dy dz x y z dxdydz dxdy x y z dz

1

0

μ( , , ) ( 2 ) ( 2 )

Calcoliamo l’integrale interno:

I x y zdz xz yz z x x y y x y x y x y

x y

z x y

= ∫ + + = + + z = − − + − − + − − = − −

−−

=−−

( 2 ) ( )= 1( ) 1( ) 1( ) 1

1

0

1 2

0

2

int

Sostituendo di sopra si ottiene l’integrale doppio nella zona E xy:

1( ) 1( ) (*)

1

0

1

0

∫∫ ∫ ∫

−

= − − = − −

Exy

x

m x y dx dy dx x y dy

Calcolando l’integrale interno si ottiene :

(^12102)
0 2
1
2
)^1
2
1( x y ) dy ( y xy y yy x x x
x
− − = − − ==− = − +
−
∫
Sostituendo in (*) di sopra si ottiene:
6
)^1
6
1
2
1
2
) (^1
2
1
2
(^11
0
2 3
1
0
= − +^2 = − + = =

∫ =

x

m x x dx x x x x

Negli esercizi più complicati è consigliabile calcolare separatamente l’integrale interno.
In modo analogo, se il corpo è regolare nella direzione X oppure Y, si ottengono le formule
seguenti per calcolare l’integrale triplo :

∫∫∫ = ∫∫ ∫

E E

x x y

yz x x y

f x y z dx dy dz dydz f x y z dx

( , )

( , )

2

1

( , , ) ( , , )

X

Y

Z

1

1

1

1

1

x

y

0

y=1-x

*

z = 1 -x-y

z = 0

y = 0

Exy