Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

A = ( 1, 0, 0 ) B = ( 0, 1, π/2 )

dr = ( dx )^2 +( dy )^2 +( dz )^2 = (−sin t )^2 +(cos t )^2 + 12 ⋅ dt = 2 dt

(^22)
0 8
2 2 π
π

∫ z dr = ∫ t dt =

AB

2. Caso. La curva è piana ed è data con le equazioni parametriche :







=

=

()

()

y yt

x xt

con α ≤ t ≤ β, allora dr = ( x ,( t ))^2 +( y (' t ))^2 dt quindi la formula del calcolo è:

∫

L

f(x,y) dr = ∫

β

α

f(x(t),y(t)). ( x ,( t ))^2 +( y (' t ))^2 dt ( 2 )

Esercizio 2. Calcolare xydr
L

∫ dove L è l’arco dell’ellisse 4 9 1

2 2

x + y = nel primo quadrante.

Soluzione.
Le equazioni parametriche dell’ellisse sono:
cos
0 2
sin

x a t

con t

y b t

π

 =

 ≤ ≤

 =

, nel nostro caso abbiamo

2 cos

0

3sin 2

x t

con t

y t

 = ≤ ≤ π
 =

Si vede che la variabile indipendente t in questo caso è crescente quindi dt > 0.

ᠵ 㐄 㔅 ᡶᡷ    ᡖᡰ 㐄 㔅 2ᡕᡧᡱᡲ    3ᡱᡡᡦᡲ   㒓4ᡱᡡᡦ ⡰ᡲ ㎗9ᡕᡧᡱ ⡰ᡲ   ᡖᡲ 㐄 6㔅 ᡱᡡᡦᡲ    㒓9 ㎘5ᡱᡡᡦ ⡰ᡲ         ᡖ䙦ᡱᡡᡦᡲ 䙧㐄

ゕ

⡰

⡨

ゕ
⡰
〓 ⡨
Pongo sin t = u allora si ottiene:

ᠵ 㐄 6   㔅 ᡳ 㒓9 ㎘5   ᡳ⡰

⡩

⡨

        ᡖᡳ 㐄    ㎘

6

10 㔅

㒓9 −5ᡳ⡰

⡩

⡨

    ᡖ䙦9−5ᡳ⡰䙧= −

3

5 ∙䚆

䙦9−5ᡳ⡰䙧

⡱

⡰

3

2

䚇

⡨

⡩

=   

38

5

3. Caso. La curva è piana ed è data con la equazione cartesiana y = y (x) con a ≤ x ≤ b.
   In questo caso abbiamo dx = 1 dx mentre ᡖᡷ = ᡷ䖓䙦ᡶ䙧∙ᡖᡶ

mentre dr = 1 +( y (' x ))^2 dx quindi la formula del calcolo è :

∫ L f(x,y) dr = ∫

b

a

f(x,y(x)). 1 +( y (' x ))^2 dx (3)

Esercizio 3. Calcolare lunghezza dell’arco OA della parabola y = x^2 per 0 ≤ x ≤ 1.
Soluzione:

ᡁᠧ = 㔅 㒓1 +䙦ᡷ䖓䙧⡰        ᡖᡶ 㐄 㔅 㒓1 ㎗䙦2ᡶ䙧⡰    ᡖᡶ 㐄

1

2 㔅

㒓1㎗ᡲ⡰

⡰

⡨

⡩

⡨

⡩

⡨

    ᡖᡲ 㐄

x

z

A

B

y