Gli esercizi 4 e 5 sono una verifica della indipendenza dal verso della curva dell’integrale
curvilineo di primo tipo.
Esercizio 5. Calcolare l’arco AO della parabola y = x^2.
Soluzione:
In questo caso abbiamo 1 ≥ x ≥ 0 quindi dx < 0 , per cui si ha :
ᠧᡁ = 㔅 㒓1 +䙦ᡷ䖓䙧⡰ 䙦㎘ ᡖᡶ䙧 㐄 㔅 㒓1 ㎗䙦2ᡶ䙧⡰ ᡖᡶ 㐄1
2 㔅㒓1 ㎗ᡲ⡰⡰
⡨⡩
⡨⡨
⡩ ᡖᡲ 㐄㐄1
4 䙴ᡲ 㒓1 ㎗ᡲ⡰㎗ ᡤᡦ䚘ᡲ ㎗㒓1 ㎗ᡲ⡰䚘䙵
⡨⡰
㐄1
4 㐧^2 √^5 ㎗ ᡤᡦ㘧2㎗√^5 㘧㐱^Esercizio 6. Calcolare la lunghezza L dr
L
=∫ dove L è la spezzata OABCO con O(0,0), A(2,0),
B(2,1), C(0,1).
Soluzione.
Siccome la curva è liscia a tratti, bisogna calcolare separatamente ogni tratto.
a) Tratto OA è dato dal sistema delle equazioni:
䙶ᡶ 㐄 ᡶ
ᡷ 㐄 0 ᡕᡧᡦ 0 ≤ᡶ ≤ 2 ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ ᡖᡶ 㐄 1 ᡖᡶ , ᡖᡷ = 0. ̄^ᡁᠧ = 㔅 ᡖᡰ =
〖。㔅㒓䙦ᡖᡶ䙧⡰㎗䙦ᡖᡷ䙧⡰⡰
⡨㐄 㔅 ᡖᡶ 㐄 2⡰
⡨b) Tratto AB㐠ᡶ 㐄 2ᡷ 㐄 ᡷ ᡕᡧᡦ 0 ≤ ᡷ ≤ 1 ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ ᡖᡶ 㐄0 , ᡖᡷ = 1 ᡖᡷ. ̄B(2,1)A(2,0)C(0,1 )O(0,0) (^) x
y
A
O (^) x
y
1
x^2