3.2 Sostituzione:
∆ ↆ∆ = ❹Ↄ❸ ↆ䙦Ↄ∆❹+ↄ䙧.
Dimostrazione : ⡰〨⡩ ᡖ䙦ᡓᡶ⡰+ᡔ䙧=⡰〨⡩ 䙦ᡓᡶ⡰+ᡔ䙧′ ᡖᡶ = ⡰〨⡩ 2ᡓ ᡖᡶ = ᡶ ᡖᡶ
Esercizi. Usando la formula 3.2 ᡶ ᡖᡶ = ⡰〨⡩ ᡖ䙦ᡓᡶ⡰+ᡔ䙧 calcolare gli integrali seguenti:
㔅ᡶ
䙦ᡓᡶ⡰+ᡔ䙧⡰ ᡖᡶ.^Soluzione : Usando la sostituzione 3.2 e ponendo u = ᡓᡶ⡰+ᡔ si ottiene
(^) ᔖ䙦⤑⤴ㄘ⤴⡸⤒䙧ㄘ dx = =⡰⤑⡩ᔖ⤔䙦⤑⤴
ㄘ⡸⤒䙧
䙦⤑⤴ㄘ⡸⤒䙧ㄘ= =
⡩
⡰⤑ᔖ
⤔䙦⤑⤴ㄘ⡸⤒䙧
䙦⤑⤴ㄘ⡸⤒䙧ㄘ=
⡩
⡰⤑ᔖ
⤔⤱
⤱ㄘ=−
⡩
⡰⤑^
⡩
⤑⤴ㄘ⡸⤒+c.
- (^) ᔖけㄘけ⡸⡩ᡖᡶ
- ᔖ〨け けㄘ⡸〩ᡖᡶ
- (^) ᔖᡶ ᡗ⡹⡱けㄘᡖᡶ
- ᔖᡶ √3 −7ᡶ⡰ ᡖᡶ
- (^) ᔖᡶ √ᡓᡶ⡰+ᡔ ᡖᡶ
- (^) ᔖ√⡰⡹⡱けけ ㄘ ᡖᡶ
- (^) ᔖ⤓⤥⤩ㄘ 䙦〨けけ ㄘ⡸〩䙧ᡖᡶ
- ᔖᡶ 䙦 1−3ᡶ⡰䙧⡳ ᡖᡶ.
3.3 Sostituzione:
∆↖ ↆ∆ =䙦↖⡸❸䙧Ↄ❸ ↆ䙦Ↄ∆↖⡸❸+ↄ䙧.
Dimostrazione:
1
䙦ᡦ +1䙧ᡓ ᡖ䙦ᡓᡶ
ぁ⡸⡩+ᡔ䙧= ^1
䙦ᡦ +1䙧ᡓ^ 䙦ᡓᡶ
ぁ⡸⡩+ᡔ䙧′ᡖᡶ =^1
䙦ᡦ +1䙧ᡓ ᡓ䙦ᡦ +1䙧 ᡶ
ぁ ᡖᡶ = ᡶぁ ᡖᡶ
Esercizi. Usando la sostituzione 3.3, calcolare gli integrali seguenti: - (^) ᔖᡶ ⡱ᡗ⡹⡰けㄠ ᡖᡶ
Soluzione: ᡅᡗᡕᡧᡦᡖᡧ ᡤᡓ ᡘᡧᡰᡥᡳᡤᡓ 3.3 ᡱᡡ ℎᡓ ᡶ⡱ᡖᡶ = ⡹⡶⡩ᡖ䙦−2ᡶ⡲䙧 quindi: