Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Tutto il lavoro richiesto sarà dato dalla somma di tutti questi elementi, cioè dall’integrale:

W = ( , ) ( , )

AB

∫ P x y dx Q x y dy ⋅ + ⋅

Un integrale tale si dice integrale curvilineo nel piano di secondo tipo in forma completa.
Nota: Questo integrale si dice anche integrale del lavoro.

Se noi cambiamo il verso del movimento sulla curva, allora il vettore dr

uur
cambia verso, avremmo
che l’integrale del secondo tipo cambia segno:

( , ) ( , )

AB

∫ P x y dx Q x y dy ⋅ + ⋅ = ( , ) ( , )

BA

−∫ P x y dx Q x y dy ⋅ + ⋅

2.2 Problema. Calcolare il lavoro W fatto da una forza

F x y z ( , , )= P x y z i ( , , ) + Q x y z j R x y z k ( , , ) + ( , , )

ur r r ur

che sposta un punto materiale dalla posizione A nella posizione B movendo lungo di una curva
data orientata nello spazio.
Soluzione:

Lo spostamento elementare nello spazio è il vettore dr =( , dx dy dz , )

uur

Come sopra ricaviamo il lavoro richiesto:

W = ∫

→ →

⋅

AB

F dr

oppure nelle coordinate,

W = ( , , ) ( , , ) ( , , )

AB

∫ P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ⋅ + ⋅ + ⋅

Questo integrale si dice l’integrale curvilineo nello spazio di secondo tipo in forma completa
spesso si dice anche l’integrale del lavoro nello spazio.
L’integrale si secondo tipo è la somma di tre integrali cioè:

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

AB AB AB AB

∫ P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ⋅ + ⋅ + ⋅ =∫ P x y z dx ⋅ +∫ Q x y z dy ⋅ +∫ R x y z dz ⋅

Calcolo dell'integrale curvilineo di secondo tipo.
1.Caso .La curva piana AB è data con le equazioni parametriche :







=

=

()

)(

y yt

x xt

con α ≤ t ≤ β con A = (x(α), y(α)) e B = (x(β), y(β))

Trovo ᡖᡶ 㐄 ᡶ䖓䙦ᡲ䙧 ᡖᡲ ᡓᡦᡕℎᡗ ᡖᡷ 㐄 ᡷ䖓䙦ᡲ䙧 ᡖᡲ e sostituisco nell’integrale. Di conseguenza la
formula di calcolo dell’integrale curvilineo di secondo tipo, in questo caso è:

( , ) ( , )

AB

∫ P x y dx Q x y dy ⋅ + ⋅ 㐄ᔖ〨〩㐧 ᡂ㐵ᡶ䙦ᡲ䙧,ᡷ䙦ᡲ䙧㐹ᡶ䖓䙦ᡲ䙧㎗ᡃ㐵ᡶ䙦ᡲ䙧,ᡷ䙦ᡲ䙧㐹  ᡷ′䙦ᡲ䙧㐱      ᡖᡲ                  䙦1䙧^

Esercizio 1.

Calcolare il lavoro fatto dalla forza ᠲ 䙒䙒䙒ጘ= 䙦2ᡶ ㎘ᡷ,3ᡷ䙧 sul tratto AB, con A(1,5) e B(3,4), che si
trova sulla curva di equazioni parametriche :

㐠ᡶ 㐄 2ᡲ ㎘1ᡷ 㐄 5㎘ᡲ⡰ ̄

Soluzione.
Al punto A corrisponde t = 0 mentre il punto B si ottiene per t = 1, dalla formula (1) abbiamo: