Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

1 2 (cos 2 sin ) 3

0

2

∫ ⋅ + ⋅ =∫ + =−

AO

dx x dy y y dy

π

4. Caso. La curva AB nello spazio è data con le equazioni parametriche:









=

=

=

()

()

()

z zt

y yt

x xt

con α ≤ t ≤ β

Dalle equazioni della curva calcoliamo:

䚈

ᡖᡶ 㐄 ᡶ䖓䙦ᡲ䙧  ᡖᡲ

ᡖᡷ 㐄 ᡷ䖓䙦ᡲ䙧  ᡖᡲ

ᡖᡸ 㐄 ᡸ䖓䙦ᡲ䙧  ᡖᡲ

̄

Sostituendo nell’integrale si ottiene, in questo caso, la formula (4) seguente:

( , , ) ( , , ) ( , , )

AB

∫ P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= P x t y t z t ( ( ), ( ), ( )) x t dt '( ) Q x t y t z t ( ( ), ( ), ( )) y t dt '( ) R x t y t z t ( ( ), ( ), ( )) z t dt '( )

β β β

α α α

∫ ⋅ ⋅ +∫ ⋅ ⋅ +∫ ⋅ ⋅

Esercizio 4.

Calcolare il lavoro fatto dalla forza F

ur
= ( x^3 , 3zy^2 , -x^2 y ) secondo il segmento della retta che unisce
il punto A = ( 3,-2,2 ) con il punto O = ( 0,0,0 ).
Soluzione :
L’equazione della retta OA nella forma canonica è:

3 2 2

x = y = z
−
Mentre nella forma parametrica è:
3
2
2

x t

y t

z t

 =

 = −



 =

. per il punto A si ha t = 1 mentre per il punto O si ottiene t = 0.

Il lavoro richiesto, dalla formula (4) sarà :

(^0322)
1
L =∫(3 ) 3 3 2 ( 2 ) ( 2) (3 ) ( 2 ) t ⋅ + ⋅ t ⋅ − t ⋅ − − t ⋅ − t  ⋅ dt = −⡳⡩⡲
Esercizio 5.
Calcolare il lavoro fatto dalla forza F = ( (x-y^2 ), 2xy ) lungo le linee diverse che uniscono i due punti
O (0,0) e A (1,1).

1. Retta,


2. Parabola y = x^2 ,


3. Parabola x=y^2 ,


4. La spezzata OBA, dove B = (1,0) ,


5. La spezzataOCA, dove C = (0,1).