Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Siccome la zona dentro la circonferenza contiene un punto (0,0) che non appartiene alla D, perché
le derivate parziali in questo punto non sono definite, l’integrale curvilineo secondo una curva
chiusa non è detto che sia zero (vedi teorema 5.1), oppure l’integrale di secondo tipo (1) non è
detto che non dipende dalla forma della curva che unisce il punto iniziale con quella finale.
(vedi teorema 5.2).

6. Integrale curvilineo della forma esatta differenziale. La funzione primitiva.

Sia F = F(x,y) una funzione con le derivate parziali nella zona legata D.

Differenziale di questa funzione in un punto (x,y) di questa zona è l’espressione seguente :

dy

y

dx F

x

dF F

∂

+∂

∂

=∂

Dividendo i due membri con dt, si ottiene la derivata della funzione composta F(t) = F (x(t), y(t)) :

dt

dy

y

F

dt

dx

x

F

dt

dF ⋅

∂

⋅ + ∂

∂

= ∂

Forma differenziale si dice ogni espressione del tipo P dx + Q dy.

Definizione 1. Forma differenzialeiii ↆ∆+iv ↆ∇ si dice forma differenziale esatta
In una zona legata D se

x y D

x

Q

y

P ∀ ∈

∂

=∂

∂

∂ ( , )

Esercizio 1.

Dimostrare che l’espressione 䙲ᡶ⡰㎘⡱⡰ ᡷ⡰䙳 ᡖᡶ ㎘3ᡶᡷ ᡖᡷ è una forma differenziale esatta per

ogni punto (x,y) del piano.
Soluzione:

ᡅᡡᡕᡕᡧᡥᡗ ᡂ䙦ᡶ,ᡷ䙧㐄 䙲ᡶ⡰㎘⡱⡰ ᡷ⡰䙳 ᡥᡗᡦᡲᡰᡗ ᡃ䙦ᡶ,ᡷ䙧㐄 ㎘3ᡶᡷ allora troviamo

x

y Q

dy

P

∂

∂ =− 3 =∂

Esercizio 2.
Controllare se l’espressione 䙦ᡶ⡰㎘3ᡶᡷ 䙧 ᡖᡶ ㎗3ᡶᡷ ᡖᡷ è una forma differenziale esatta per ogni
punto (x,y) del piano.
Soluzione:
ᡅᡡᡕᡕᡧᡥᡗ ᡂ䙦ᡶ,ᡷ䙧㐄䙦ᡶ⡰㎘3ᡶᡷ 䙧 ᡥᡗᡦᡲᡰᡗ ᡃ䙦ᡶ,ᡷ䙧㐄 3ᡶᡷ allora