Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

CB ∫ =∫

x

x

P x y dx Px y dx

0

( , ) ( , ) mentre ∫ =

CB

Q ( x , y ) dy 0

Sostituendo nella formula (2) si ottiene la formula pratica per determinare la funzione primitiva :

( , ) ( , ) ( , ) )3(

0 0

= ∫ + ∫ 0 +

x

x

y

y

U x y P x y dx Q x y dy C

Da questa formula si vede, che per la stessa forma differenziale, possiamo trovare un’infinità di
funzioni primitive. Questi funzioni primitive differiscono una dall’altra da una costante additiva. La
costante C dipende dal punto (x 0 , y 0 ) scelto come iniziale.

8. Funzione potenziale.
   Nella fisica funzione potenziale V = V(x,y) è una funzione con il quale possiamo calcolare il

lavoro W fatto da una forza F䙒ጘ䙦x,y䙧㐄P䙦x,y䙧ıጘ ㎗Q䙦x,y䙧ȷጘ nel spostamento da A alla B.
La formula del calcolo è :

W =−∆ V = V ( A )− V ( B )

Quindi il lavoro è la differenza tra il valore del potenziale nel punto iniziale con il valore del
potenziale nel punto finale.

Il lavoro della forza F䙒ጘ䙦x,y䙧㐄P䙦x,y䙧ıጘ ㎗Q䙦x,y䙧ȷጘ si trova anche dall’integrale di secondo tipo:

W = ( , ) ( , )

AB

∫ P x y dx Q x y dy ⋅ + ⋅

Se per questo integrale esiste la primitiva U(x,y), allora questo integrale possiamo calcolare con
aiuto di essa ed il lavoro si ottiene dalla differenza:
W = U ( B )− U ( A )

Quindi, se esiste la primitiva U esiste anche la funzione potenziale V ed abbiamo:
V ( x , y )=− U ( x , y )

per cui spesso la primitiva si dice anche potenziale.

x

y

A(xo,yo)

C(xo , y)

B(x,y)