Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

allora l’espressione sotto il segno dell’integrale è una forma differenziale esatta e quindi l’integrale
non dipende dalla forma della curva che unisce i due punti A e B e si può essere calcolato più
facilmente con aiuto della funzione primitiva.
Troviamo, dalla formula (3), la funzione primitiva U(x,y) prendendo come punto iniziale A(1,0)

U x y e x dx e y dy C xe y x y C

x y

= y + + y − + = + − +

∫ ∫

2

2

1 0 2

( , ) ( ) ( 2 )

Usando la formula (1) si ottiene il valore del lavoro:

2

1

W =∫( e + x ) dx +( xe − 2 y ) dy = U )1,2( − U )0,1( = 2 e −

AB

y y

Possiamo trovare adesso anche la funzione potenziale e calcolare ancora il lavoro.

La funzione potenziale è )
2

( , ) (^2

2

V x y =− xey + x − y + C

2

1

W =−∆ V = V ( A )− V ( B )= V )0,1( − V )1,2( = 2 e −

Nota.Il campo della forza F ( P ( x , y ), Q ( x , y ))

→

si dice irrotazionale se

x

Q

dy

P

∂

∂ =∂. nel caso in cui

anche la zona D è legata, allora il campo si dice conservativo.

Come conclusione sipuò affermare il seguente teorema:

Teorema
Nel campo conservativo:

1. Esiste la funzione potenziale;


2. Il lavoro nel campo conservativo è la differenza tra il valore del potenziale nel punto
   iniziale e il valore nel punto finale;


3. L’integrale curvilineo non dipende dalla forma della curva, ma solo dalla posizione del
   punto d’inizio e del punto finale.