Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Problema 3. Trovare i momenti statici della piastra materiale S con la densità di superficie μ(x,y,z)
rispetto ai piani xy, xz, yz.
Soluzione:
Sia dm = μ(x,y,z) dS , la massa elementare del pezzo dS. Il momento statico dS xy di questa massa
elementare rispetto al piano xy è il suo prodotto con la z:

dS xy = z dm cioè dSxy = z. μ(x,y,z) dS.

Il momento statico della piastra S rispetto al piano xy, è la somma di tutti questi momenti statici
elementari, cioè l’integrale di superficie di primo specie:

=∫∫

S

Sxy z μ( x , y , z ) dS

Ugualmente si trovano i momenti statici della piastra rispetto ai piani xz e yz con l’integrali:

=∫∫

S

Sxz y μ( x , y , z ) dS =∫∫

S

Syz x μ( x , y , z ) dS

Problema 4. Trovare il centro della gravità ( il centro delle masse ) di una piastra con la densità di
superficie μ(x,y,z).
Soluzione:
Il centro G( X G, Y G, ZG) delle masse si definisce come un punto materiale dove è concentrata tutta la
massa della piastra e ha coni piano coordinativi gli stessi momenti statici come la piastra stessa.
Perciò si ottiene:

XG. m = Syz

YG. m = Sxz

ZG. m = S xy

dS

S

x

y

z

z

y x