Sia dm = μ(x,y,z) dS , la massa elementare del pezzo dS dove si trova il punto (x,y,z). Il momento
d’inerzia dIo di questa massa elementare rispetto all’origine è il suo prodotto per il quadrato della
distanza da questo punto:
dIo = (x^2 + y^2 + z^2 ) dm ovvero dIo = (x^2 + y^2 + z^2 ) μ(x,y,z) dSIl momento d’inerzia Io della piastra rispetto all’origine, è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale di superficie di primo specie
=∫∫ + +
SIo ( x y z ) ( x , y , z ) dS(^222) μ
Teorema:
Il momento di inerzia di una piastra materiale piana rispetto ad un punto è uguale alla somma dei
momenti d’inerzia di questa curva rispetto ai tre piani due a due perpendicolari che passano per
questo punto.
Infatti: Basta scomporre l’ultimo integrale in tre integrali e si ottiene:
Io = Ixy + Ixz+ Iyz.
Calcolo dell’integrale di superficie del I-o tipo.
Riportiamo integrale di superficie del primo tipo in un integrale doppio.
Sia data la superficie S e la funzione f(x,y,z) definita su questa superficie. Vogliamo calcolare
l’integrale di superficie di primo tipo di questa funzione su questa superficie:
∫∫ S f ( x , y , z ) dS^
1° Caso. La superficie S è data nella forma parametrica :
x y^
z