Sia S una superficie nello spazio. Pongo che su questa superficie è stato definito un sistema di
coordinate curvilinee (u, v). In questo caso si dice che la superficie S è stata parametrizzata con i
parametri ( u, v ).
Le equazioni parametriche della superficie S sono:
ᡅ ∶ 䚈ᡶ 㐄 ᡶ䙦ᡶ,ᡷ䙧
ᡷ 㐄 ᡷ䙦ᡳ,ᡴ䙧
ᡸ 㐄 ᡸ䙦ᡳ,ᡴ䙧̄ ᡕᡧᡦ ᡓ ≤ ᡳ ≤ ᡔ , ᡕ ≤ ᡴ ≤ ᡖSia P (u, v) un punto su questa superficie. Le linee coordinative del sistema uv dividono la
superficie S in piccolissimi quadrilateri. Sia dS un quadrilatero infinitesimo che si forma dalle u,
u+du, v, v+dv.
Area ds> 0 di questo quadrilatero di superficie è quasi uguale all’area del quadrilatero nel piano
tangente formato dal punto P (u,v) e dai vettori ᡖᡅ䙒䙒䙒䙒ጘえ , ᡖᡅ䙒䙒䙒䙒䙒ጘぉ . Questi vettori sono vettori delle rette
tangenti rispettivamente sulle linee lisce coordinative u , v. Essi si trovano nel piano tangente sulla
superficie S nel punto P.
I moduli di questi vettori si trovano con aiuto dei derivati parziali:
㘧ᡖᡅ䙒䙒䙒䙒ጘえ㘧 = 㘨′′′ᡅ
′′′ᡳ ∙ ᡖᡳ㘨 ᡥᡗᡦᡲᡰᡗ 㘧ᡖᡅ䙒䙒䙒䙒ጘぉ㘧 㐄 㘨′′′ᡅ
′′′ᡴ ∙ ᡖᡴ㘨^Calcolo l’area:
ᡖᡱ 㐄 㘧ᡖᡅ䙒䙒䙒䙒ጘえ㘧∙㘧ᡖᡅ䙒䙒䙒䙒ጘぉ㘧∙ᡱᡡᡦ 㐄 䚘ㄅ〠ㄅえ ∙ ᡖᡳ䚘 ∙䚘ㄅ〠ㄅぉ ∙ ᡖᡴ䚘 ∙sin =䙦|ᡅえ䖓|∙|ᡅぉ䖓|∙sin 䙧 ᡖᡳ ᡖᡴ (*)Poniamo che il prodotto du dv > 0 , quindi u e v , oppure sono tutte e due crescenti oppure
decrescenti.
Il vettore prodotto vettoriale
ᡀ䙒䙒ጘ㐄 ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ × ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘdelle due vettori derivati parziali ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ㐄䙦ᡶえ䖓; ᡷえ䖓; ᡸえ䖓䙧 ᡗ ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘ㐄 䙦ᡶぉ䖓;ᡷぉ䖓; ᡸぉ䖓䙧 della S ,è
perpendicolare al piano tangente.
Dalla (*) si ha:
ᡖᡱ 㐄 㘧ᡀ䙒䙒ጘ㘧 ᡖᡳ ᡖᡴDefinizione:
Elemento infinitesimo d’area dS della superficie S è detto :
dS = 㘧N䙒䙒ጘ㘧 d u d v