Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

3.6 Integrazione di alcuni funzioni trigonometriche.

Per integrare delle funzioni trigonometriche e meglio avere dentro l’integrale un’espressione di
una sola funzione trigonometrica, di solito si usano le sostituzioni seguenti:

᠙᠉᠔∆    ↆ∆   =  −ↆ䙦᠃᠕᠙∆䙧    

᠃᠕᠙∆    ↆ∆   =              ↆ䙦᠙᠉᠔∆䙧 

Esempio. Calcolare l’integrale usando le sostituzioni 3.6.:

㔅 sinᡶ cosᡶ ᡖᡶ =㔅 sinᡶ d䙦sinᡶ䙧 = 㔅 ᡳ ᡖᡳ =

ᡱᡡᡦ ⡰ᡶ

2 +ᡕ^

Ricordiamo anche le identità trigonometriche :

1. ᡕᡧᡱ ⡰ᡶ +ᡱᡡᡦ ⡰ᡶ = 1


2. ᡕᡧᡱ ⡰ᡶ −ᡱᡡᡦ ⡰ᡶ = cos2ᡶ


3. 2sinᡶcosᡶ = sin2ᡶ


4. 2ᡕᡧᡱ ⡰ᡶ = 1−cos2ᡶ


5. 2ᡱᡡᡦ ⡰ᡶ = 1 +cos2ᡶ

Esercizi. Con aiuto delle sostituzioni dei differenziali delle identità trigonometriche calcolare
l’integrali seguenti :

1) ᔖ⡰⡹⡱⤓⤥⤩け⤩⤙⤤け         ᡖᡶ

2. (^) ᔖ⡳⡹⡵ 〰あう⤩⤙⤤け⤓⤥⤩けㄘけ ᡖᡶ


3. (^) ᔖ⡳⡹ ⤩⤙⤤⤓⤥⤩けㄘけ ᡖᡶ


4. (^) ᔖᡲᡙ ᡶ ᡖᡶ


5. ᔖᡲᡙ⡰ ᡶ ᡖᡶ


6. (^) ᔖᡱᡡᡦ ⡰ᡶ ᡖᡶ


7. (^) ᔖᡕᡧᡱ ⡰ᡶ ᡖᡶ


8. (^) ᔖᡕᡧᡱ ⡰ᡶ ᡖᡶ = (^) ᔖ⡩⡹⤓⤥⤩⡰け⡰ ᡖᡶ =ᔖ⡩⡰ ᡖᡶ −⡩⡰ᔖcos2ᡶ ᡖᡶ =⡩⡰ ᡶ −⡩⡲ᔖcos2ᡶ ᡖ䙦2ᡶ䙧=
   = ⡩⡰ ᡶ −⡩⡲sin2ᡶ +ᡕ.
   3.7 Teorema. La primitiva di una funzione fratta con numeratore lq derivata del
   denominatore è uguale al logaritmo del valore assoluto del denominatore :
   Infatti :
   ᔖ〴
   ′䙦け䙧
   〴䙦け䙧 ᡖᡶ = ᔖ
   〱䙦〴䙦け䙧䙧
   〴䙦け䙧 = ᔖ
   〱え
   え= ln㐵ᡙ䙦ᡶ䙧㐹 +ᡕ .
   Esercizi. Calcolare gli integrali seguenti:


9. ᔖᡕᡲᡙ ᡶ ᡖᡶ =ᔖ⤓⤥⤩け⤩⤙⤤け ᡖᡶ = ᡤᡦ |sinᡶ|+ᡕ.