Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

dove S è la superficie chiusa con la frontiera il triangolo di vertici A(0, 0, 3), B(4, 2,1), C(2, 5, 3),
orientato in modo che per ogni punto (x,y,z) della S il vettore ↖䙒䙒ጘ della perpendicolare sia orientato
positivamente rispetto ad S.

Soluzione.

Sia nel piano uv la superficie triangolare

A’B’C’ = Suv=䙨䙦ᡳ,ᡴ䙧 ∈ ᡄ⡰|ᡳ ㎗ᡴ ≤ 1   ,ᡳ ≥ 0,ᡴ ≥ 0 ̄䙩

Una parametrizzazione della superficie triangolare ABC sarebbe:

䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧㐄 ᡳ  䙦 2 ,5,3䙧㎗  ᡴ   䙦 4 ,2,1䙧㎗  䙦1㎘ᡳ ㎘ᡴ䙧䙦0,0,3䙧㐄 䙦2ᡳ ㎗4ᡴ,5ᡳ +2ᡴ,−2ᡴ +3䙧

oppure 㐡

ᡶ 㐄 2ᡳ ㎗4ᡴ

ᡷ 㐄 5ᡳ ㎗2ᡴ

ᡸ 㐄 ㎘2ᡴ ㎗3

̄ con 䙦ᡳ,ᡴ䙧∈ ᡅえぉ

Calcoliamo l’integrale dato con aiuto della formula (1)
Siccome la superficie triangolare ABC è orientato nel modo opposto con la sua immagine A’B’C’
davanti al integrale dobbiamo mettere il segno negativo.

Calcoliamo i jacobiani:

ᠶげこ 㐄 䚘5 20 −2䚘 = −10       ,                       ᠶこけ = 䚘0 −22 4䚘 = 4         ,                           ᠶけげ = 䚘2 45 2䚘 = −16    

I xdy dz dz dx dx dy [ u v ] du dv

S SUV

=∫∫ − 2 + =−∫∫ 2( + 4 )(− 10 )− 2 ⋅ 4 − 16

I = ∫∫[ ] ∫ ∫[ ]

−

+ + = + + =

1

0

1

0

20 40 24 20 40 24 .......

u

S

u v du dv du u v dv

UV

A

B

C

n

x

Y

Z

A’

1

C’

v

u

0 1

B’