Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

ᡅጘ=ᡶ䙦ᡳ,ᡴ䙧∙⠵ጘ㎗   ᡷ䙦ᡳ,ᡴ䙧∙⠶ጘ㎗  ᡸ䙦ᡳ,ᡴ䙧∙ᡣ䙒ጘ

ovvero

con uv Suv

z zuv

y y uv

x x uv

∈









=

=

=

( , )

( , )

( , )

( , )

le proiezioni sui piani coordinativi della area infinitesimale dS sono:

䚈

ᡖᡷ  ᡖᡸ 㐄 ᠶげこ    ᡖᡳ  ᡖᡴ

ᡖᡸ  ᡖᡶ 㐄 ᠶこけ    ᡖᡳ  ᡖᡴ

ᡖᡶ  ᡖᡷ 㐄 ᠶけげ    ᡖᡳ  ᡖᡴ

̄

la formula del calcolo si ottiene sostituendo x, y, z con l’espressioni date:

Pdy dz Qdz dx Rdx dy [ P Jyz Q Jzx R Jxy ] du dv )1(

S Suv

∫∫ + + = ±∫∫ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅^

Suv è l’immagine della zona S nello spazio (uv), mentre i jacobiani si trovano con i determinanti :

u v

u v

YZ z z

y y

J = , ,

u v

u v

ZX x x

z z

J =

u v

u v

XY y y

x x

J =

Il segno + si prende se S e SUV hanno lo stesso orientamento, mentre il segno – nel caso opposto.

La formula (1) possiamo scrivere anche:

∫∫ + + =±∫∫ ⋅ × ⋅

SUV

u v

S

Pdy dz Qdz dx Rdx dy ( P , Q , R ) ( S S ) du dv

nel membro destro sotto il segno dell’integrale doppio abbiamo un prodotto scalare di due vettori.

Esercizio 1.
Calcolare l’integrale seguente di secondo tipo:

I xdy dz dz dx dx dy

S

=∫∫ − 2 +