Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

I = ∫∫ + + =∫∫ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
S S

xdy dz ydz dx zdx dy [ x cos( N , x ) y cos( N , y ) z cos( N , z ]) dS

r r r

Un vettore perpendicolare in un punto qualsiasi sulla superficie sferica è N = 2( x 2, y 2, z )

r

Il suo modulo è N = 2 r , quindi abbiamo:

r

N z z

r

N y y

r

N x x

2

, cos( , )^2

2

, cos( , )^2

2

cos( r, )=^2 r = r =^

mentre

2

2 2 2 2

[ ] ds r ds r 4 r

r

r

ds

r

x y z

dS

r

z

z

r

y

y

r

x

I x

S s S S

= = = ⋅ π

=∫∫ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =∫∫ ∫∫ ∫∫

I = 4 π r^3.

4. Legame tra integrale di superficie e l’integrale di linea. Formula di Stokes.

Sia S una superficie con due facce chiusa e liscia nello spazio. Sia L la linea di frontiera. Scelgo il
verso positivo della perpendicolare N sulla S, cioè un osservatore posto in questo verso, vede la
frontiera L orientata nel senso antiorario.

Siano P = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) tre funzione di tre variabili definiti in una zona dello
spazio e che contiene dentro la superficie S. Siano queste funzioni derivabili e con i derivati
continui.
Si può dimostrare che in queste condizioni è vera la seguente formula di Stokes:

∫∫( ' − ') +( ' − ' ) +( ' − ') =∫ + + )1(

L

Z X X Y

S

RY QZ dy dz P R dz dx Q P dx dy Pdx Qdy Rdz

L’integrale a sinistra è della superficie di secondo tipo calcolato secondo la faccia positiva della S.
L’integrale a destra è un integrale curvilineo di secondo tipo calcolato secondo la linea L, orientata
come sopra, cioè legata con l’orientamento della S.
Per dimostrare la formula (1), la dividiamo in tre integrali secondo le funzioni P, Q, R.

L S

N

X

Y

Z