Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

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' ' ' '

( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ' '

Q dx dy Q dy dz R dy dz R dz dx I I I

R Q dy dz P R dz dx Q P dx dy P dz dx P dx dy

X

S

Y

S

X Z

Y

S

Z X X Y Z

S

Y Z

+ − + − = + +

− + − + − = − +

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

Calcoliamo il primo integrale, cioè.

I P dz dx P dx dy P N y P N z ds

S

Z Y

S

=∫∫ Z − Y =∫∫[ cos( , )− cos( , )]

' ' ' '

1

r r

Sia data la superficie S con l’equazione esplicita z = z (x, y). Allora il vettore della perpendicolare

con il verso sopra sarà N =(− ZX ' ,− ZY ' )1,

r

, quindi i coseni direttori saranno:

' 2 ' 2

'

1 ( ) ( )

( , )

X Y

X

Z Z

Cos N X Z

+ +

r = −

' 2 ' 2

'

1 ( ) ( )

( , )

X Y

Y

Z Z

Cos NY Z

+ +

r = −

1 ( ' )^2 ( ')^2

( , )^1

ZX ZY

Cos N Z

+ +

=

r

, mentre il rapporto '

( , )

( , )

Cos N Z ZY

Cos N r Y =−

r

Trasformiamo adesso l’integrale I 1 in un integrale doppio sulla S xy, che è la proiezione della S nel
piano XY.

P N Z dS P Z P dx dy

N Z

I P N Y

Z Y Y

S

Y

S

Z

XY

] cos( , ) [ ]

cos( , )

[ ' cos( , ) ' ' ' '

1 =∫∫ ⋅ − ⋅ ⋅ = −∫∫ ⋅ +

r

r

r

Dalla formula della derivata parziale della funzione composta P = P (x, y, Z (x, y)), si ha

y

Z

z

P

y

P x yZ x y P

y ∂

⋅∂

∂

+∂

∂

=∂

∂

∂ [ , , ( , )]

quindi si ottiene:

dx dy

y

P

I

SXY

∫∫ ∂

∂

1 = −^

Applicando in questo integrale la formula di Green, si ha:

= ∫

LXY

I 1 P ( x , y , Z ( x , y )) dx