BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

Persamaan Cauchy-Riemann

Persamaan Cauchy-Riemann : diberikan fungsi kompleks 푓(푧)=푢(푥,푦)+

푖푣(푥,푦). Persamaan Cauchy-Riemann dari fungsi tersebut adalah

푢

푥

=푣

푦

푑푎푛 푣

푥

=−푢

푦

.

Suatu fungsi kompleks 푓(푧) dikatakan fungsi analitik jika memenuhi

persamaan Cauchy-Riemann.

Contoh:

Apakah fungsi kompleks 푓(푧)=푧

2

adalah fungsi analitik? Buktikan!

Jawab:

Fungsi kompleks 푓(푧)=푧

2

adalah fungsi analitik

푓(푧)=푧

2

=(푥+푖푦)

2

=푥

2

− 푦

2

+ 2 푥푦푖

∎ 푢

(

푥,푦

)

=푥

2

− 푦

2

∎ 푢

푦

=− 2 푦

∎ 푣(푥,푦)= 2 푥푦 ∎ 푣

푥

= 2 푦

∎ 푢

푥

= 2 푥 ∎ 푣

푦

= 2 푥

Karena turunan parsial dari fungsi kompleks 푓(푧)=푧

2

memenuhi

persamaan Cauchy-Riemann, yaitu

푢

푥

= 2 푥=푣

푦

푑푎푛 푣

푥

= 2 푦=−(− 2 푦)=−푢

푦

Maka fungsi 푓(푧)=푧

2

adalah fungsi analitik.

Definisi Persamaan Cauchy-Riemann

Fungsi 푓 dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan

parsial pertama dari 푢 푑푎푛 푣 memnuhi persamaan Cauchy-Riemann, yaitu

푢

푥

=푣

푦

푢

푦

=−푣

푥

Dengan

푢

푥

=

휕푢

휕푥

,푢

푦

=

휕푢

휕푦

,푣

푥

=

휕푣

휕푥

,푣

푦

=

휕푣

휕푦

Teorema 3

Misal 푓(푧)=푢(푥,푦)+푖푣(푥,푦) terdefinisi dan kontinu di suatu lingkungan

dari 푧=푥+푖푣 dan mempunyai turunan di 푧 maka 푢

푥

,푣

푦

푢

푦

,푣

푥

ada dan

memenuhi persamaan Cauchy-Riemann 푢
푥

=푣

푦

푢

푦

=−푣

푥

.

Teorema 4

Jika dua fungsi kontinu bernilai riil 푢(푥,푦) dan 푣(푥,푦) mempunyai turunan

parsial pertamannya kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann

dalam domain D, maka fungsi kompleks 푓

(

푧

)

=푢

(

푥,푦

)

+푖푣(푥,푦) analitik di

D.

Contoh:

Buktikan fungsi 푓

(

푧

)

=( 1 +푖)푧

2

ini analitik.

Penyelesaian: